Это изобретено в Китае

Через двести лет после Лю Хуэя, Цзу Чун-чжи (429–500 годы) получил для ? еще более точное приближение. Метод Цзу Чун-чжи, описанный в его труде «Чжуй-шу», к сожалению, остался неизвестным. Книга была утеряна еще в эпоху Северной Сунской династии (960—1 127 годы), однако принято считать, что он применил метод Лю Хуэя, заключавшийся в удвоении сторон вписанного в окружность правильного многоугольника. Вычислив сумму сторон 12 288-угольника и 24 576-угольника, он получил отношение длины окружности к диаметру, лежащее в пределах 3,1415926

?=22/7=22/7 (приближенное)

и

?=355/113 (более точное).

Это последнее, более точное, приближение лишь на 4/10000000 расходится с последним совремeнным приближением, вычисленным для трансцендентного числа ?.

В Европе приближение 355/113 было найдено лишь в 1573 году. Японский математик Миками Есио предлагал назвать это приближение «числом Цзу» в память о великом вкладе китайского ученого Цзу Чун-чжи в историю математической мысли.

Сын Цзу Чун-чжи, Цзу Хэн-чжи, продолжая исследования отца в области математической науки, открыл способ вычисления объема шара (объем шара = 4/3 ?r?). Одна из примененных им теорем была доказана итальянским математиком Бонавентура Кавальери (1598–1647 годы) спустя тысячу лет и получила название «принципа Кавальери».

Другим классическим трудом по математике является исключительно богатая по содержанию работа «Искусство счета в девяти главах» («Цзючжан суань-шу»). Эта работа была закончена около 40–50 годов н. э. Девять областей практического применения математических знаний определили само древнее название науки ? «Искусства счета по девяти разделам». Это были: 1) способы измерения земельных площадей в форме квадратов, круга, трапеции и других планиметрических фигур; 2) способы вычисления мер сыпучих тел (зерна при меновых сделках); 3) способы пропорционального деления; 4) способы измерения длины межевых полос земельных участков — извлечение квадратных и кубических корней; 5) способы вычисления объема земляных работ в строительстве городских стен, дамб, плотин, каналов; 6) вычисления, связанные с равномерным распределением обязанностей по перевозке продовольствия; 7) решения уравнений первой степени с двумя неизвестными; 8) решения системы уравнений первой степени; 9) формулировка теоремы гипотенузы и катетов прямоугольного треугольника.

В этой книге было собрано 246 арифметических и алгебраических задач, задач по планиметрии и стереометрии. Собственно арифметическая часть работы включала уже задачи на все четыре арифметических действия с дробями и процентами, а также способы нахождения наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя группы чисел. Алгебра была представлена действиями с положительными и отрицательными числами.

Кстати, раз уже речь зашла об отрицательных количествах, следует отметить, что действия над ними китайские математики начали производить раньше, чем в какой бы то ни было другой стране. В Индии с отрицательными количествами научились иметь дело лишь после VI века; в Европе их не понижали до середины XVI столетия.

В «Искусстве счета в девяти главах» объяснялись способы решения системы уравнений 1-й степени, предлагались задачи на уравнения 2-й степени. Впоследствии Цзу Чун-чжи и математик Ван Сяо-тун, живший в эпоху Тан (VII–X века), расширили и дополнили приемы решения системы линейных уравнений, вычисление действительных корней квадратных уравнений и уравнений 3-й степени. В XI веке Цзя Сянь предложил метод приближенного решения алгебраических выражений. В работе Цин Цзю-шао «Девять отделов математики» («Шушу цзю чжан»), появившейся в 1247 году, и в работе математика Ли Чжи «Измерения круга по всем разделам» (Цеэ юань хай чжан») этот метод нашел дальнейшее развитие. Это был прием вычисления действительных корней алгебраических уравнений любой степени с численными коэффициентами, во многом совпадающий с методом, известным ныне как «метод Горнера», хотя Горнер открыл его только в 1819 году.

Если мы захотим записать формулу вычисления биноминальных коэффициентов, то она будет выглядеть так:

(a + b)¹=a + b;

(a + b)²=a²+2ab + b²;

(а+b)³=а³+За²Ы- 3ab² + b³;

(а + Ь)⁴=а⁴Ч-4а⁸Ы-6аЬ² + 4аЬ³ + Ь⁴;

(а4-Ь)⁶=а⁵4-5а⁴Ы-10а³Ь²+10а²Ь³ + 5аЬ⁴ + Ь⁵.

Ту же, по существу, формулу для составления биноминальных коэффициентов можно, оказывается, записать в виде треугольной числовой таблицы, значительно облегчающей дело. По боковым сторонам треугольника стоят единицы, внутри каждое число образуется сложением двух чисел, стоящих над ним.

Возьмем, например, число из основания треугольника. Оно образуется сложением стоящих над ним 20 и 15. Таким образом, каждая сторона треугольника дает нам биноминальные коэффициенты для разложения соответствующей степени бинома.

Этот треугольник известен в Европе как «треугольник Паскаля», названный по имени французского математика Блеза Паскаля (1623–1662 годы), который описал этот способ вычисления биноминальных коэффициентов в 1654 году в своем «Трактате об арифметическом треугольнике». Впервые в Европе этот прием был открыт в 1527 году.

В Китае приведенный выше треугольник для вычисления биноминальных коэффициентов знал уже математик Ян Хуэй, живший в конце Южной Сунской династии (XIII век).

Ян Хуэй дал в своей работе «Подробное объяснение метода счета в девяти главах» («Сян цзе цзю чжан суань фа») (около 1261 года) схему такого треугольника, «показывающую основы способа извлечения корней». Согласно комментарию, который дал Ян Хуэй, этот метод был известен еще Цзя Сяню. Цзя Сянь, живший в середине XI века, да? толкование

Рис. 31. Треугольник для вычисления биноминальных коэффициентов по методу математика Ян Хуэя.

«Искусства счета в девяти главах» по более ранним источникам. Проследить эти источники не представляется возможным, и, следовательно, мы не можем установить имя математика, впервые применившего приемы вычисления числовой таблицы, но даже если остановиться на Цзя Сяне, то и он жил и работал на 400–500 лет раньше европейцев.

Схема Ян Хуэя дает треугольную числовую таблицу для разложения степеней бинома, по шестую включительно. В книге китайского математика Чжу Ши-цзе «Зеркало четырех начал» («Сы юань юй цзянь»), написанной около 1303 года, приводится арифметический треугольник для составления биноминальных коэффициентов, позволяющий производить разложение бинома восьмой степени.

В книге «Классическая арифметика Сунь-цзы» («Сунь-цзы суань цзин»), написанной около III века, мы находим оригинальный способ решения задачи, изложенной следующим образом: «Найти число, которое при делении на 3 дает в остатке 2; при делении на 5 — в остатке 3; при делении на 7 — в остатке 2».

Ответ: «23». К нему приходим следующим образом.

Возьмем произведение (или удвоенное произведение) двух любых делителей из числа трех предложенных и разделим на оставшийся третий; при этом в остатке всегда должна быть единица.

(5х7) х 2 = 70, при делении на 3 в остатке 1;

(3 х 7) = 21, при делении на 5 в остатке 1;

(3 х 5) = 15, при делении на 7 в остатке 1.

Затем остаток от деления искомого числа на 3, то есть 2, помножим на 70; получим 140. Остаток от деления искомого числа на 5, то есть 3, помножим на 21; получим 63. Остаток от деления на 7, то есть 2, помножим на 15; получим 30.

Сумма трех произведений: 140+63+30 = 233.

Если эта сумма не превышает их наименьшего общего кратного — 105 (3х5х7), она и есть искомое; если превышает, надо вычесть из нее число 105, умноженное на 2, и искомым числом будет эта разность.

Описание этого метода дается в трактате математика Цинь Цзю-шао (XIII век) «Да янь цю и шу», вошедшем в его знаменитые «Девять отделов математики» ? («Шушу цзю чжан») 1247 год [57]. Похожий просто на пример по занимательной математике, метод нашел практическое применение, например в календарных расчетах. Как известно, год это 365 с лишним дней, а месяц — 29 с лишним. Каждые несколько лет накоплявшийся остаток нарушал первоначальную точность счисления, и в случаях, когда требовалось перенестись на несколько лет назад и найти исходную точку, одинаковую к данному сезону сельскохозяйственного года — новолуние, температура, — применяли этот метод вычисления.

Исследования, которые мы находим в математическом трактате «Классическая арифметика Сунь-цзы» и в работах Цинь Цзю-шао, хронологически появились намного раньше аналогичных исследований европейских ученых. Леонард Эйлер (1707–1783 годы) пришел к подобному выводу лишь в 1734 году. Теорема разностей — великий вклад китайских ученых в историю мировой математики. Проникнув в XIX столетии в Европу, теорема привлекла исключительное внимание европейских математиков, и они приступили к исследованию исчисления конечных разностей.

В рамках небольшого рассказа трудно перечислить все достижения китайских ученых в различных областях математической науки. То немногое, с чем мы познакомились, — лишь часть огромного вклада математиков древнего Китая в мировую математическую мысль.