Евклид. Геометрия

Аристотель же во «Второй аналитике» пишет, что доказательные науки сочетают в себе два аспекта: касающийся значения, то есть терминов, и касающийся существования, то есть предметов. Второе различие пересекается с предыдущим: необходимо отличать первичные термины и предметы от производных терминов и предметов (или свойств). Высказывания, в которых устанавливается значение или факт существования, являются тезисами; в частности, значение устанавливается в определениях, а существования — в гипотезах. Определения «ничего не говорят о существовании определенного предмета», они отвечают на вопрос: «Что это?», а не на «Существует ли?». Гипотезы, в свою очередь, делятся на общие понятия, в которых ум не может сомневаться (настолько они убедительны по своему существу), и на постулаты, не настолько очевидные и предполагающие существование некоторых сущностей. Общие понятия часто называют аксиомами. Современные математики не видят существенной разницы между ними и постулатами. Среди математических объектов есть «первичные», например величина в арифметике или в геометрии, существование которой «дано». Существование же всех остальных объектов необходимо установить. Предложения и теоремы описывают существующие объекты: «Если объекта не существует, высказывание ложно». Вопрос о существовании имеет основополагающее значение. Это не существование идей, предшествующих всему, как у Платона, а существование на основании аксиомы или доказательства, ведущего к ней.

Во «Второй аналитике» Аристотель пишет:

«Предположения — это суждения, при наличии которых получается заключение благодаря тому, что они есть. И геометр не предполагает нечто ложное, как это утверждали некоторые, указывая, что не следует пользоваться ложными положениями, а геометр как раз и допускает ложное, когда про линию, не имеющую в длину фута, говорит, что она имеет эту длину, или про начерченную линию, не являющуюся прямой, говорит, что она прямая. Однако геометр ничего не выводит на основании того, что линия такая, какой он сам ее назвал, но выводит посредством того, что он этим имел в виду. Далее, всякий постулат и всякое предположение берется или как нечто целое, или как часть; определения же — ни как то, ни как другое».

Аристотель установил метод построения научного рассуждения. Он кажется похожим на метод Платона, но это не так: Аристотель не делает различия между истинностью постулатов и истинностью, которая находится за пределами возможного познания. Есть истины, которые просто фиксируют факт существования и общие понятия с более широкой областью применения. Цепь рассуждений, подобно цепочке силлогизмов, идет от само собой разумеющейся истины к истине, доказываемой в теореме: у истины общих понятий и у истины теорем одна и та же природа. Однако Аристотелю требуются определения, в чем его мысль (ученика) опять расходится с представлениями Платона (учителя): необходимые и достаточные условия тесно связаны с терминами, применяемыми в определениях, и делают их правильными.

Философию науки — в частности, математики — Аристотеля можно представить в виде схемы.

СОДЕРЖАНИЕ «НАЧАЛ»

Принято считать, что Евклид написал 13 книг с общим названием «Начала». Они изложены на койне с использованием символов, обозначающих геометрические понятия, в частности точки, величины и числа. Впоследствии к ним были добавлены еще две книги: книга XIV Гипсикла (ок. 190-120 до н.э.) и XV — неизвестного автора, возможно Исидора Милетского. Первое из более тысячи изданий «Начал» было сделано Эрхардом Ратдольтом (1442-1528) в Венеции в 1482 году, почти через 30 лет после публикации Библии Гуттенберга. Эрхард напечатал вариант с комментариями итальянского ученого Джованни Кампано (1220-1296), который, в свою очередь, опирался на перевод, сделанный английским монахом Аделярдом Батским (ок. 1080-1160). В первых четырех книгах не упоминается теория отношений. Они посвящены планиметрии, а не дидактике, и тем не менее сильно различаются.