Евклид. Геометрия

Остальные же построены вокруг двух концептуальных основ: книги I и книги V. Можно сказать, что в них собраны достижения, предшествовавшие Академии и последовавшие за ней. Книги с X по XIII сильно связаны с обоими источниками.

Книга I	Самостоятельная
Книга II	Опирается на книгу I
Книга III	Опирается на книгу I, а также на предложения 5 и 6 книги II
Книга IV	Опирается на книгу I, на предложение II книги II и на книгу III
Книга V	Самостоятельная
Книга VI	Опирается на предложения 27 и 31 книги III, а также на книги I и V
Книга VII	Самостоятельная

Книга VIII	Опирается на определения из книгУ и VII
Книга IX	Опирается на предложения 3 и 4 из книги II, а также на книги VII и VIII
Книга X	Опирается на предложения 44 и 47 из книги I, на книгу II, на предложение 31 из книги III, на книги V и VI, на предложения 4, 11, 26 из книги VII, на предложения 1, 24, 26 из книги IX
КнигаХI	Опирается на книгу I, на предложение 31 из книги III, на предложение 1 из книги IV, на книги V и VI
Книга XII	Опирается на книги I и III, на предложения 6 и 7 из книги IV, на книги V и VI, на предложение 1 из книги X и на книгу XI
Книга XIII	Опирается на книгу I, на предложение 4 из книги II, на книги III, IV, V, VI, X и XI

Взаимосвязь разных книг «Начал».

НАЧАЛА ДО «НАЧАЛ»

Необходимо уточнить, что имеется в виду под «элементом» в геометрии[¹ Сочинение Евклида традиционно называется «Начала», но на древнегреческом это слово также имеет значение «элемент». — Примеч. перев.]. Аристотель в «Топике» говорит: «В геометрии необходимо оперировать элементами»; а Прокл в своем комментарии пишет:

«Если геометрия располагает некоторыми элементами, то можно будет понять все остальные науки, без них же невозможно охватить все ее разнообразие, и другие науки будут недосягаемы».

Прокл также описывает различные значения этого термина. По мнению Гиппократа Хиосского, элемент — это положение, имеющее фундаментальную важность для получения и дедуктивной организации других результатов; Менехм рассматривал элемент в двух значениях: «слабом», когда он имеет вид предыдущей леммы (например, предложение 1 из книги I по отношению к предложению 2 той же книги), и «сильном», когда он имеет вид определения, общего понятия и постулата. Сочинение Евклида может именоваться «Элементы» («Начала») именно в «сильном» значении слова, хотя в нем встречаются элементы и в «слабом» значении, так как, определив основные принципы, он придает своему труду дедуктивную структуру и, следовательно, большую дидактическую ценность. Поэтому в «Началах» содержатся не все известные на тот момент геометрические результаты, а только те, которые могут служить основой последующих рассуждений. В этом смысле «Начала» превосходят другие предшествующие ему сочинения с таким же названием. Такие мыслители, как Архимед, Аполлоний, Эратосфен, Птолемей, Папп, Прокл, используют этот труд как главный свод начальных знаний для изучения математики.

Как мы уже сказали, структура «Начал» соответствует духу Аристотеля. Напомним, что общие понятия (см. таблицу) — это само собой разумеющиеся истины. Мы сконцентрируемся на пяти из них и затронем шестое. В общих понятиях говорится об отношениях равенства или неравенства количественного типа, что подходит для геометрических величин, натуральных чисел и пропорций. Таким образом, их область применения очень широка, и с точки зрения методологии «Начал» они имеют первоочередное значение.