Евклид. Геометрия

Общие понятия

1. Равные одному и тому же равны и между собой.

2. Если к равным прибавляются равные, то и получившиеся будут равны.

3. Если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны.

[3b. Если к равным прибавляются неравные, то получившиеся не будут равны.] Это понятие встречается только в некоторых изданиях.

4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

5. Целое больше части.

[6. Две прямые не содержат пространства.] Это понятие встречается только в некоторых изданиях.

Два общих понятия, четвертое и шестое, не попадают под это описание, поскольку относятся к геометрическим объектам и поэтому должны быть включены в список постулатов. Четвертое общее понятие косвенно вводит понятие движения: если мы сместим два геометрических объекта и они совпадут, значит, до перемещения они были равны. Шестое общее понятие, которое Евклид использует в качестве примера в предложении 4 книги I, имеет чисто геометрический характер: в нем говорится о геометрических объектах и вопросе (не-)существования.

Напротив, постулаты (см. таблицу) фиксируют обстоятельства существования, в том числе и определенных геометрических объектов.

Постулаты

1. Между двумя точками всегда можно провести прямую.

2. Прямую линию можно продолжать бесконечно.

3. Круг можно построить из любого центра с любым радиусом.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая проведена через две другие прямые так, что сумма двух образованных с одной стороны углов меньше двух прямых углов, то если эти две прямые продолжить, они встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Первые три постулата относятся к так называемому построению с помощью линейки и циркуля. В них утверждается, что существуют прямые, концами которых являются две точки (и эти прямые можно продолжить до бесконечности), и окружности с заданным центром и радиусом. У циркуля нет памяти: если он закрылся, значение невозможно восстановить. Но во втором предложении книги I циркуль ведет себя как инструмент, наделенный памятью.

Остановимся на минуту и подумаем о существовании предметов, которым дали определение. По Платону, существование реально. Определение всего лишь дает имя уже существующему объекту, позволяя нам дать ему образ. А по мнению Аристотеля, для первичных вещей существование постулируется, для вторичных — должно устанавливаться. Следовательно, у существования есть пределы. Аристотель пишет:

«Если нечто не существует, то никто не знает, что это; следовательно, мы не знаем, к чему относится речь или имя, как когда я говорю о химере, никто не может знать, каково это существо, когда я его называю. 

Таким образом, определение как наименование не подразумевает существования, хотя, по логике, должно соответствовать какой-то реальности. Обычно в геометрии существование устанавливается после точного определения объекта. Поэтому необходимо очень внимательно использовать определения в доказательствах до того, как установлено существование определяемого объекта. 

Они нуждаются в примерах осязательных, доступных, понятных, наглядных, не вызывающих сомнения, с математическими доказательствами, которые нельзя опровергнуть, вроде, например, такого: «Если мы из двух равных величин вычтем равные части, то остатки также будут равны».