Фейнмановские лекции по гравитации

следствие которых состоит в возможности описания полей так же хорошо на языке нового четыре вектора A', получаемого из вектора A добавлением градиента скалярной функции X

A'

=

A

+

X

_,

.

(3.7.6)

Какое свойство было бы аналогичным свойством тензорного поля? Мы предполагаем, что следующее свойство может быть справедливым: (мы должны быть внимательны для того, чтобы сохранить наши тензоры симметричными) подстановка

h'

=

h

+

X

_,

+

X

_,

(3.7.7)

в левую часть уравнения (3.7.4) не меняет вид этого уравнения. Доказательство этого факта оставляем в качестве упражнения.

С использованием свойства калибровочной инвариантности, было бы проще получить уравнения для полей в определённой калибровке, что более подходяще, что-то типа лоренцевой калибровки в электродинамике. По аналогии с выбором

A

_,

=

0,

(3.7.8)

мы сделаем следующий выбор (который будем называть условием Лоренца)

h

_,

=

0.

(3.7.9)

Таким образом, получаем полевые уравнения, связывающие оператор ”черта” от тензора T с полями

h

^,

_,

=-

k^2

h

=-

T

,

(3.7.10)

или решая h=(/k^2)T. Немедленно получаем, что амплитуда взаимодействия такого тензора h с другим источником T' от hT' в лагранжиане, имеет следующее выражение

^2

T'

1

k^2

T

.

Итак, мы получили в точности то, что мы получили прежде при обсуждении амплитуд непосредственно.

Лекция 4

4.1. Связь между рангом тензора и знаком поля

Мы хотели бы вывести некоторые полезные общие свойства полей, используя свойства лагранжевой плотности. Для гравитационного поля мы определим в данном месте константу взаимодействия и нормализацию плоских волн, которые мы будем отныне использовать. Мы положим

=

8G

.

(4.1.1)

Здесь, G - обычная гравитационная постоянная в естественных единицах (h=c=1); квадратный корень включается в определение с тем, чтобы константа стала аналогична заряду электрона e в электродинамике, что предпочтительнее того, чтобы подобная величина была пропорциональна квадрату заряда. Множитель 8 служит для того, чтобы исключить не относящиеся к делу множители из большей части полезных соотношений. Для того, чтобы представить плоско-волновые гравитоны, мы будем использовать поля

h

=

e

exp(ik·x)

,

(4.1.2)

с вектором поляризации e, нормализованным таким образом, что

e

e

=

1.

(4.1.2)

Действие, которое описывает общую энергию полей гравитации, вещество и взаимодействие между веществом и гравитонами, имеет следующий вид

S

=

1

2

dV

h

^,

h

_,

-2

h

_,

h

^,

(поля)

+

dV

(

h

T

)

(член взаимодействия)

+

S

_M

(материя).

(4.1.4)

Мы можем вывести из лагранжианов полей некоторые важные свойства, например, мы можем понять, почему гравитация притягивает как частицы, так и античастицы, в то время как в электричестве одинаковые заряды отталкиваются, а противоположные притягиваются. Может быть показано, что это свойство связано со знаком лагранжиана, так что если мы изменим знак лагранжиана S->-S, сила меняет знак. Знак констант взаимодействия или e, или g не даёт отличий в теории, так как он появляется в квадрате в любой диаграмме, которая представляет поправку к энергии; всегда вовлечены две вершины. Мы можем поменять знак энергии, соответствующей диаграмме такой, как изображённой на рис. 4.1, только, если мы можем ввести множитель i в каждой вершине, например, если мы должны использовать поля i вместо .

Рис. 4.1.

Тем не менее, поля должны представлять соответствующие плоские волны, которые согласовано определены так, что установившиеся волны в большой коробке имеют положительные значения энергии и квантово-механические осцилляторы, которые представляют эти установившиеся волны, ведут себя правильно. Скалярные поля имеют плоские волны

=

a

exp(ik·x)

.

(4.1.5)

Амплитуда a для квантового поля появляется как координата квантово-механического осциллятора. Если значения кинетической энергии таких осцилляторов, которые пропорциональна a^2, должны представлять положительные значения энергии, мы обязаны записать нашу теорию последовательным образом, и замена ->i была бы ошибкой.

Для электромагнитных волн именно компоненты в трансверсальном направлении, перпендикулярном направлению распространения, ограничиваются при подобном рассмотрении. Отрицательный знак появляется в связанной энергии потому, что энергия включает в себя пространственные индексы в скалярное произведение двух векторов, которое мы определили как

A

B

=

AB

-(

AB

+

AB

+

AB

).

(4.1.6)

Знак кулоновских сил связан со знаком временных компонент в лагранжиане. Для гравитационных волн также имеются трансверсальные компоненты, которые заключены в определённые пределы, а при свёртке по двум индексам (или даже по чётному числу индексов) знаки сокращаются, знак временных компонентов h противоположен случаю, рассматриваемому в случае электричества, и мы имеем притяжение.

4.2. Тензор энергии-импульса для скалярной материи