Фейнмановские лекции по гравитации

не должна была бы приводить к изменению в амплитуде в заданном порядке. Такая процедура состоит просто в приравнивании членов одного и того же порядка амплитуд, полученных из e и e', с коэффициентами перед каждым членом, которые должны быть определены. Может быть возможно вывести форму квадратичного члена гравитона аналогичным способом, но это пока ещё не было сделано, поскольку самовзаимодействие гравитона делает анализ довольно сложным во втором порядке, и мы получим правильные выражения, используя другой подход.

Может быть интересным попытаться вывести эти члены, применяя прямой подход, так что сделаем несколько замечаний об этом.

Рис. 4.5.

Если мы рассматриваем добавление к комптоновскому рассеянию не только амплитуд, таких, какие представлены на рис. 4.4, но также амплитуд, соответствующих диаграмме, изображённой на рис. 4.5, у нас вероятно не будет условий для того, чтобы определить все неизвестные параметры более полной теории. Если мы рассмотрим взамен нашей задачи комптоновское рассеяние виртуального гравитона, мы можем увеличить число регулируемых величин, и может быть возможно вновь получить правильную теорию. Включённые в анализ диаграммы могут быть типа изображённых на рис. 4.6, и мы могли бы попытаться сделать сумму калибровочно инвариантной. На самом деле, мы будем решать эти проблемы другим способом, тем не менее, такой подход может быть полезным для того, чтобы изучить детали нашей полевой теории, подходя к решению различными путями.

Рис. 4.6.

4.6. Классические уравнения движения гравитирующей частицы

Для того, чтобы вычислить некоторые классические эффекты в нашей теории, например, орбиты планет, движущихся вокруг звезды, нам необходимо свести нашу квантовую теорию к её классической форме. Это возможно сделать, выписывая классическую теорию, как результат вариационного принципа на интеграле по траекториям, который заключает в себя действия или временной интеграл от лагранжиана. Движение, описываемое частицей, задаётся минимумом интеграла по траекториям, например, для свободной частицы это минимум интеграла

-

(ds)^2

=-

dx

dx

=-

dx

d

dx

d

1/2

d

.

(4.6.1)

Что-то должно быть добавлено к интегральному выражению для того, чтобы представить гравитационные эффекты. Имеется более, чем один вариационный принцип, который может дать классическую теорию, так что мы будем использовать вариационный принцип, который даёт более удобные интегралы по траекториям (фактически, принцип, приводящий к уравнению Клейна - Гордона методом интегрирования по траекториям в квантовой механике). Для заряженных частиц мы можем получить уравнения движения, вариируя интеграл

-

m

2

d

dx

d

dx

d

-

e

d

A

(x)

dx

d

.

(4.6.2)

После того, как мы проделаем некоторые преобразования, приходим к следующему соотношению

m

d^2x

d^2

=

eF

dx

d

,

(4.6.3)

где F есть ротор от вектора A. Из этого уравнения, умножая на dx/d, так как тензор F - антисимметричен, мы находим, что

d

d

dx

d

dx

d

обращается в нуль, или

dx

d

dx

d

=

ds

d

^2

есть константа, так что величина пропорциональна собственному времени (и мы можем взять её равным собственному времени, если m есть масса покоя частицы). Далее мы должны включить наш тензор T в подынтегральное выражение соответствующим образом для того, чтобы получить правильные гравитационные уравнения. В электродинамике вектор, связанный с полем, есть просто производная смещения по отношению к 4-скаляру, т.е. скорость (dx/d) Мы предполагаем, что тензор T есть не что иное, как тензор, порождённый двумя такими скоростями, и подбираем мультипликативную константу так, что компонента с индексами 44 правильно описывает плотность энергии. Мы полагаем

T

=

m

dx

d

dx

d

,

(4.6.4)

где =s=”собственное время”. Компонент с индексами 44 есть на самом деле плотность энергии; он имеет множитель 1/1-v^2/c^2 для того, чтобы учесть увеличение энергии со скоростью, и другой множитель для того, чтобы учесть одновременное сокращение объёма из-за лоренцева сжатия.

Следовательно, интеграл от лагранжиана или действие, которое должно быть провариировано, имеет следующий вид:

m

=

-

1

2

d

dx

d

dx

d

-

d

h

(x)

dx

d

dx

d

.

(4.6.5)

Введём новый тензор для того, чтобы записать действие в более компактном виде

g

(x)

=

+

2

h

(x)

,

(4.6.6)

так что действие может быть записано в виде

m

=

-

1

2

d

g

(x)

x'

x'

.

(4.6.7)

Начиная с последнего соотношения и ниже, обозначаем производную по отношению к параметру знаком ”штрих”. Поскольку мы вариируем функционал (действие) по отношению к координатам траектории, мы получаем два равных члена от каждого из множителей x', x' и один от тензора g; уравнение движения имеет вид

-

d

d

(

g

x'

)

+

1

2

g

x

x'

x'

=

0.

(4.6.8)

Существуют другие способы записи уравнений, которые могут быть иногда полезны. Сначала мы перегруппируем члены, в которых имеются две скорости, с одной стороны равенства

g

x''

=

1

2

g

x

-

g

x

x'

x'

.

(4.6.9)

Теперь мы расщепляем второй член на две равные части и переобозначаем индексы суммирования -> одной части для того, чтобы получить комбинацию, которая задаётся специальным символом, поскольку он часто повторяется

[,]

=

1

2

g

x

+

g

x

-

g

x

.

(4.6.10)