Фейнмановские лекции по гравитации

Уравнение движения, выраженное через такую скобку (называемую ковариантными коэффициентами связности), становится довольно простым

g

x''

=-

[,]

x'

x'

.

(4.6.11)

Имеется одно следствие этого уравнения, которое немедленно получается дифференцированием по параметру произведения gx'x'

(

g

x'

x'

)

=2

g

x'

x''

+

g

x

x'

x'

x'

.

(4.6.12)

Если мы перепишем произведение gx'' в первом члене в правой части его выражением (4.6.9) и переобозначим индексы суммирования, мы находим, что производная тождественно равна нулю. Таким образом, произведение gx'x' есть скалярная константа. Если мы определим новый параметр s следующим соотношением

g

x'

x'

=

ds

d

^2

,

то s - аналог собственного времени для задач гравитации. Так как ds/d есть константа, мы выберем её равной единице и обозначим ниже все производные по переменной s точкой. В частности, тогда

g

x

x

=

1.

(4.6.13)

4.7. Орбитальное движение частицы вокруг звезды

Уравнение движения может быть записано через полевой тензор следующим образом (что следует из соотношения (4.6.8))

d

ds

(

x

+

2

h

x

)=

h

x

x

x

.

(4.7.1)

Перед решением уравнения движения следует заметить, что нам необходимы соответствующие выражения для гравитационных полей. Мы интересуемся этими выражениями в области, где нет источников массы. Таким образом, полевое уравнение

h

_,

-

2

h

_,

^,

=

T

(4.7.2)

может быть решено способом, аналогичным решению уравнения Максвелла, если мы используем лоренцеву калибровку h^,=0. Вспоминая определение даламбертиана =(/t)^2-^2, получаем

h

=-

T

.

(4.7.3)

Для гравистатического случая, когда временная зависимость имеет нулевую частоту, мы должны иметь ньютоновский закон для силы; компонент T пропорционален массе. Другие компоненты равны нулю. Полевой тензор есть

h

=-

M

4r

,

h

=

0,

(,/=4,4).

(4.7.4)

Тензор без черты получается вычислением оператора ”черты” от обеих частей

h

=

h

-

1

2

h

=

-

8

M

r

если

=

,

0

в противном случае

(4.7.5)

Подставляем такой полевой тензор в уравнения движения и используем следующие обозначения

=

2h

,

=

2h

=

2h

=

2h

.

(4.7.6)

Для данного случая ясно, что ==-2MG/r, но в последней лекции мы будем иметь возможность рассмотреть случай, для которого это неверно, так что мы останавливаемся на таком различии в выражении, но предполагаем, что величины и являются функциями только r.

Процедура решения уравнений, описывающих орбиты, аналогична методу решения уравнений для ньютоновского поля. Мы разделяем уравнения на пространственные координаты и временные координаты, исключаем время и параметр для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее бесконечно малые перемещения по радиальной и угловой координате. Мы исходим из четырёхмерного уравнения (4.7.1). Пространственные координаты (=3,2,1) ведут себя согласно следующему уравнению

d

ds

(-

x

+

x

)=

1

2

x

t^2

+

x

(

x^2

+

y^2

+

z^2

)

.

(4.7.7)

Уравнение для времени имеет вид

d

ds

(

t

+

t

)=

0.

(4.7.8)

Мы имеем интеграл движения, следующий из уравнения (4.6.13)

x

x

+

2

h

x

x

=

1,

(4.7.9)

которое приводит для нашего случая к следующему соотношению

t

(1+)

-

(1-)

(

x^2

+

y^2

+

z^2

)=

1.

(4.7.10)

Из уравнения для времени (4.7.8) следует, что

(1+)

dt

ds

=

K,

(4.7.11)

где K есть константа (пропорциональная энергии). Это соотношение используется для исключения производной dt/ds из уравнения для пространственных компонент (4.7.7). Так как величины , зависят только от r, правая часть уравнения (4.7.7) ориентирована по оси x. Из этого следует, что

d

ds

[

(1-)

(xy-yx)

]=

0.

Таким образом, если мы предполагаем, что движение происходит полностью в плоскости z=0 и используем полярные координаты r, в плоскости xy, мы имеем дополнительную константу движения L, связанную с угловым моментом

(1-)

r^2

=

L.

(4.7.12)

Уравнение для радиального движения может быть получено из уравнения (4.7.10), записанного в полярных координатах

K^2

1+

-

(1-)

(r^2^2+r^2)

=

1.

(4.7.13)

Меняя производную (dr/d) на отношение (dr/ds) и (d/ds), мы получаем дифференциальное уравнение для орбиты

K^2

1+

-

L^2

(1-)r

dr

d

^2

+

r^2

=

1.

(4.7.14)

Традиционная подстановка u=1/r приводит к уравнению, которое можно удобно рассмотреть, анализируя малые возмущения ньютоновских уравнений

du

d

^2

+

u^2

=

K^2

1+

-1

1-

L^2

.

(4.7.15)

Мы полагаем, что ==-2MG/r=-2MGu. Для нерелятивистских движений K близка к 1 и K^2/(1+)-1=K^2-1+2MGu, если величина предполагается малой, так что в пределе малых значений , правая часть уравнения (4.7.15) как раз и есть L^2(K^2-1+2MGu). Это выражение такое же, как и в ньютоновской теории, где правая часть уравнения равна (E+2MGu)L^2. где E - энергия частицы. В релятивистском случае имеются модификации, где мы не пренебрегаем членами более высокого порядка. Их мы обсудим в следующей лекции.

Лекция 5

5.1. Орбиты планет и прецессия Меркурия