Фейнмановские лекции по гравитации

Поскольку мы уже достигли некоторого прогресса в развитии более сложных теорий, мы должны взглянуть на более тонкие детали наших предсказаний для того, чтобы иметь критерии для оценки нашей теории. У нас есть полевая теория, которая сводится к ньютоновской теории в статическом пределе и включает в себя полное содержание энергии, и оказывается способной правильно предсказывать ”падение” фотонов в поле звезды. Экспериментальное свидетельство, которое заставит нас отказаться от ньютоновского приближения, касается прецессии перигелия планеты Меркурий. Мы продолжаем вычисление орбит планет. Начнём с уравнения

du

d

^2

+

u^2

=

K^2-1-

1+

1-

L^2

,

u

=

1

r

,

K

=

(1+)

dt

ds

,

r

d

ds

=

L

=

(1-)r^2

d

ds

,

(5.1.1)

где символы и представляют собой диагональные элементы тензора h, =2h и =2h_ii, i=1,2,3. Согласно нашей теории, которую мы разработали к настоящему времени, мы имеем ==-2GM/r=-2GMu. Однако, как мы вскоре увидим, наша теория неверна, и, чтобы не проделывать всю работу вновь после исправления теории, мы запишем

=

(-2GMu)

+

a(-2GMu)^2

+

…,

=

(-2GMu)

+

b(-2GMu)^2

+

…,

(5.1.2)

в наших уравнениях, но для того, чтобы найти следствия нашей существующей теории, мы должны положить a=b=0 и ==1 в этих формулах в самом конце. В случае нашей скалярной теории ==1 и =-2GM/r Предположим, что потенциал в естественных единицах нашей задачи mc много меньше 1, так что мы можем разложить множитель 1/(1+) в ряд по тогда уравнение движения принимает следующий вид:

du

d

^2

+

u^2

=

1

L^2

(K^2-1-)

(1-+^2-…)

(1-)

.

(5.1.3)

Перепишем теперь правую часть этого уравнения как ряд по степеням u. Сохраняя только первый и второй степени малого потенциала, 2GMu и K^2-1, мы имеем

du

d

^2

+

u^2

=

A

+

Bu

+

Bu^2

+

…,

(5.1.4)

где

A

=

1

L^2

(K^2-1)

;

B

=

2GM

L^2

[

(K^2-1)

(+)+

];

C

=

(2GM)^2

L^2

[

K^2^2

+

K^2

-

K^2

-

(K^2-1)b

].

Продифференцируем по переменной ; после сокращения общих множителей уравнение принимает такой вид, для которого довольно просто найти возмущённые решения

d^2u

d^2

+

u

=

1

2

B

+

Cu

+

+… .

(5.1.5)

Когда C=0, это уравнение имеет решения типа простых конических сечений ньютоновских теорий. Переменная u испытывает гармонические осцилляции около точки B/2 как функция . Для эллиптических орбит частота равна 1, так что радиальная координата r возвращается к своему начальному значению при изменении значения угла на 2 движение в точности циклическое. Когда C не равно нулю, частота равна =1-C. Угловой период в этом случае больше, так что перигелий поворачивается при угловом изменении T=2/=2(1+C/2+…). Угол C представляет прецессию перигелия за один планетарный год, так как C1.

Для нерелятивистской планеты мы получаем значение прецессии довольно просто; нерелятивистский предел имеет место, когда общая энергия K близка к 1 (в естественных единицах mc^2). В этом случае легко показывается, что уравнение (5.1.5) сводится в точности к ньютоновскому уравнению, как это и должно быть. То, что наша теория должна иметь правильный нерелятивистский предел, является более важным, чем то, что она даст правильное значение для прецессии! Когда K^2-10, прецессия за планетарный год равна

C

=

(^2+a+)

4M^2G^2L^2

.

(5.1.6)

При существующей теории ==1, a=0, эта величина получается равной 57 секунд дуги в столетие (в земных годах) для планеты Меркурия. Для других планет эти значения значительно меньше, как например, 4 секунды дуги в столетие для случая рассмотрения орбиты Земли. Астрономические наблюдения для прецессии перигелия Меркурия дают значение 5270'' дуги в столетие. Однако, почти вся эта величина может быть объяснена влиянием возмущений вследствие влияния других планет. Когда же аккуратно делаются поправки (с использованием чисто ньютоновской теории), отличие между наблюдаемой и вычисленной прецессией оказывается равным 41±2 секунд. Наша теория даёт ответ, который, очевидно, слишком велик (по сравнению с отличием между наблюдаемым значением прецессии и вычисленной величиной в рамках ньютоновской теории), и множитель, который характеризует различие между отличием наблюдаемой и вычисленной (в рамках ньютоновской теории) прецессией и вычисленным нами в рамках слабого приближения эйнштейновской теории гравитации смещением перигелия, имеет значение порядка 4/3.¹

¹ В последнее время достигнуто существенно более точное соответствие предсказаний ОТО и наблюдений. Так, например, в книге Вейнберга [Wein 72] приведены следующие данные: предсказание в рамках ОТО даёт значение 43.03''/столетие, а различие наблюдений и предсказания в рамках ньютоновской теории гравитации даёт результат 43.11±0.45''/столетие. (Прим. перев.)