Фейнмановские лекции по гравитации

Случай нулевого поля соответствует частной простой форме для метрического тензора g=. При изменении координатной системы новый метрический тензор задаётся соотношением:

g'

=

x

x'

x

x'

g

.

(7.4.8)

Как и ранее, движение частиц задаётся требованием, чтобы собственное время достигало максимального значения на траектории движения. Если возможно, используя некоторый разумный способ выбора преобразований, привести тензор к виду g'=, тогда мы можем сделать заключение, что гравитационного поля нет и что также нет и ускорения. Но это не может быть сделано в общем случае, так как общий тензор g представляет десять предположительно независимых функций, и только четыре функции могут быть точно определены при преобразовании координат (7.4.2). Только при очень специфических условиях ускорения могут устранить все недиагональные члены всюду и привести этот тензор к виду . Если же на самом деле имеется некоторое вещество в окружающей среде, приведение этого тензора к виду невозможно. В этом случае все возможные тензоры g, связываемые соотношениями (7.4.8), будут эквивалентны, так как ни один из них не приводит к очень простым выражениям для (ds)^2.

Каковы же наши успехи в изучении характера описания гравитационных сил? В ньютоновской теории соответствующее положение есть утверждение, что сила задаётся градиентом скалярной функции

Ньютоновская гравитация:

mx

=

F

_x

,

F

_x

=-

,

Теория Эйнштейна:

ds

=

0,

(ds)^2

=

g

dx

dx

.

(7.4.9)

Вторая часть теории соответствует точному определению того, как потенциалы ( или g) связаны с веществом. В ньютоновской теории мы имеем

=

4G

.

(7.4.10)

В конце концов мы придём к точному определению тензора g, выраженному через характеристики вещества. Основная идея состоит в том, что поскольку материя есть физическая категория, в то время как системы координат нет, вещество должно быть описано таким образом, чтобы результаты решения уравнения движения не зависели от какого-либо специального выбора системы координат, тем самым ожидается, что имеющие физический смысл свойства тензора g должны быть инвариантными величинами при произвольных преобразованиях.

7.5. Геометрическая интерпретация метрического тензора

Тензор g может иметь геометрическую интерпретацию. Для приобретения необходимой интуиции мы будем изучать вкратце значение метрического тензора в случае двух измерений, чтобы понять какие инварианты включены в теорию. В случае однородных гравитационных полей мы видели, что тензор g описывает, как масштаб времени отличается при различных положениях точки в пространстве. В более широком смысле этот тензор представляет, как масштабы меняются от точки к точке не только во времени, но также и при изменении пространственных координат. В ортогональных декартовых координатах двумерная длина дуги ds задаётся следующим соотношением

(ds)^2

=

(dx)^2

+

(dy)^2

.

(7.5.1)

Если использовать на плоскости полярные координаты, то длина дуги задаётся соотношением:

(ds)^2

=

(dr)^2

+

r^2

(d)^2

.

(7.5.2)

Очевидно, что не имеет значения, какие символы мы используем для координат, и физика на плоскости должна быть одинакова независимо от того, используем мы декартовы координаты или полярные координаты для описания геометрии на плоскости. Это означает, что если мы находим, что описание длины дуги в некоторой системе, которую мы выбрали, корректно задаётся соотношением:

(ds)^2

=

y^2

(dx)^2

+

(dy)^2

.

(7.5.3)

нет глубокого смысла в том, что кажется, будто длина x меняется при изменении координаты y, поскольку простое координатное преобразование сохраняет декартово выражение для длины дуги (7.5.1).

Теперь рассмотрим более интересный случай. Представим себе, что мы - жуки, ползающие по полу, который, как мы всегда предполагали, замощён квадратными кафельными плитками, и всю нашу жизнь мы думали, что геометрия пола правильно задаётся подсчётом плиток и использованием евклидовского правила (7.5.1), что интервалы dx или dy соответствуют величине длины плитки. Но некоторые остроумные жуки начали проверять это, используя линейки, и после серии измерений пришли к результату, что измеренные длины дуг соответствуют количеству плиток следующим образом:

(ds)^2

=

(dx)^2+(dy)^2

1+ar^2

,

(7.5.4)

где r^2=x^2+y^2 Предположим, что эти остроумные жуки очень тщательно измеряли отношение длины окружности к величине радиуса круга, прикладывая свои линейки вдоль кривых с постоянным значением r и от центра круга вдоль одной из осей. Их результаты дали бы следующие значения:

Длина окружности

=

ds

=

2

0

r d

(1+ar^2)

=

2r

(1+ar^2)

,

Радиус круга

=

r

0

ds

y=0

=

r

0

dx

(1+ax^2)

=

b

arctg

r

b

=

R,

(7.5.5)

где b^2=1/a. Экспериментальный результат для отношения длины окружности к радиусу должен был бы давать в этом случае

1

R

2b tg(R/b)

1+tg^2(R/b)

=

2

sin(R/b)

(2R/b)

.

(7.5.6)

Это отношение становится равным 2 только в пределе, когда радиус окружности стремится к нулю. Именно это измеряемое соотношение и является существенным физическим результатом.