Фейнмановские лекции по гравитации

Движение частицы в заданном гравитационном поле описывается уравнением, которое получается, когда мы вариируем действие по отношению к полю . В зависимости от того, как мы переходим к квантовой механике, различные варианты действия приводят к простейшим результатам. Таким образом, мы не можем доказать, что что-либо проще, если это не приводит к одновременной простоте при решении множества различных задач. Для различных задач необходимо выбрать различные значения а для того, чтобы упростить решение, или для того, чтобы отказаться от производных. Если положить =0, то тогда мы приходим к ковариантной простоте только в том смысле, что требуется меньше алгебраических вычислений при таком исходном положении. При этом нет какой-либо подразумеваемой физической простоты, так как все значения приводят к различным степеням сложности или в той, или в другой задаче.

Давайте приступим к получению уравнений движения поля материи . Исходя из соотношения (10.3.2), мы можем использовать следующие вариации обратной матрицы и квадратного корня от детерминанта:

g

=-

g

g

g

,

(

-g

)

=

1

2

-g

g

g

,

(10.3.7)

для того, чтобы получить следующее выражение для T:

T

=

-2

S_m

g

=

-g

^;

^;

-

1

2

-g

g

(

_;

^;

-

m^2^2

)-

-

-g

R

-

1

2

g

R

^2

-

4

_;

-g

R

g_,

.

(10.3.8)

Далее мы вычисляем вариацию по отношению к полю и кладём вариацию равной нулю для того, чтобы получить нечто, что является аналогичным уравнению Клейна - Гордона

-g

g

_,

+

-g

m^2

+

2R

-g

=

0.

(10.3.9)

Получим уравнение, в котором тензоры появляются путём деления на скалярную плотность -g

1

-g

-g

g

_,

+

m^2

+

2R

=

0.

(10.3.10)

Используя соотношения (10.1.20) и (10.1.21), мы видим, что последнее уравнение может быть переписано в виде

_;

+

(

m^2

+

2R

)

=

0.

(10.3.11)

Связь с уравнением Клейна - Гордона может быть замечена при рассмотрении случая =0; обычный даламбертиан просто заменён на его ковариантный аналог, ковариантный даламбертиан.

Предшествующие шаги дали нам вполне определённую теорию, поскольку мы точно определили, как движется материя и какой есть тензор источника. Легко проверить, что для тензора, который мы выписали, ковариантная дивергенция T_; равна нулю, трюк здесь состоит в том, чтобы использовать каждый раз, когда это необходимо, сами полевые уравнения. Таким образом, ход рассуждений оказывается последовательным, все соответствующие тензоры являются бездивергентными, и это оказывается достаточно существенным, чтобы в рассуждениях исходить из этого. Для того, чтобы построить более полную теорию, мы добавляем дополнительные члены к действию так, чтобы представить другие известные поля. Мы записали сначала действие в плоском пространстве, так как мы знаем это; исходя из некоторого вида критерия, мы выберем наипростейшую форму для действия, которое есть инвариант. Требование, что действие должно быть инвариантом, приводит к ковариантным уравнениям для полей. Это не является ограничением на то, какие известные поля мы можем включить в рассмотрение, поскольку все известные законы физики могут быть ковариантным образом записаны. Дифференциальные законы обладают этим свойством. Любой закон, записанный как дифференциальное уравнение, может быть легко преобразован к ковариантной форме; мы предполагаем, что в касательном пространстве этот закон оказывается тем же самым, каким мы его знаем, затем мы вращаем и растягиваем координаты. Результирующие уравнения включают в себя производные полей вплоть до второй производной метрического тензора.

Как только мы проделали эти выкладки сначала в дифференциальной форме, затем в ковариантной форме, тогда мы можем использовать нашу теорию для того, чтобы вычислить, например, уравнение движения вещества в звезде. Рассмотренные процессы могут описываться законами, характеризующими непрозрачность, законами рассеяния и т.д. Что не является допустимым, так это использование законов, которые могли бы нарушить сохранение энергии. Мы не можем, например, сказать ”до свидания” тем нейтрино, которые образовались; эти нейтрино теряют энергию из-за наличия гравитационного потенциала, когда они покидают звезду, и последовательная теория не может быть написана, если мы пренебрегаем этим эффектом и влиянием плотности энергии нейтрино на модификацию гравитационного поля. Следовательно, не будет достаточным записать интегральные уравнения диффузии со свободными траекториями с конечным средним, но мы должны следовать уравнениям движения частиц диффузии, которые описываются полными законами, записанными в виде дифференциальных уравнений.

Для того, чтобы сделать выражения для нас проще, запишем здесь подынтегральную функцию в выражении для действия для полей непосредственно через метрический тензор. Наши предыдущие выражения выглядят проще, поскольку они определяются через комбинации метрического тензора, но этот вид часто оказывается более полезным

-R

-g

=-

-g

2

g

_,

g

_,

(

g

g

g

-

g

g

g

+

+2

g

g

g

-2

g

g

g

)

+

+

-g

g

_,

(

g

g

-

g

g

)

,

.

(10.3.12)