Фейнмановские лекции по гравитации

получившееся в результате выражение (ds)^2 через r' и dr' вместо r и dr имеет тот же самый вид, но новая функция D есть в точности D=1. Таким образом, функция D оказывается излишней, так как D=1 соответствует нашей задаче без потери общности.

Второе преобразование делается путём замены масштаба времени. Мы положим

t'

=

t'(t,r)

(11.1.3)

Используя это преобразование, мы вводим новую функцию, которая может быть выбрана так, что коэффициент при произведении drdt' равен нулю. Это означает, что если положить B=0, то потери общности не происходит.

Обычно с этого места, чтобы продвинуться в вычислениях, принято работать не с функциями A и C, а с новыми функциями и , которые определяются следующим образом:

A

=

e

,

C

=

e

,

(11.1.4)

(в этих обозначениях мы следуем Шварцшильду). Метрический тензор является диагональным, и если мы выберем обозначения индексов (1,2,3,4) для координат (r,,,t), то компоненты метрического тензора являются следующими:

g

=

e

,

g

=-

e

,

g

=-

r^2

,

g

=-

r^2

sin^2

.

(11.1.5)

Поскольку тензор является диагональным, элементы обратного тензора являются обратными элементами соответствующих компонентов более точно имеем следующие выражения:

g

=

e

^-

,

g^1^1

=-

e

^-

,

g^2^2

=-

1

r^2

,

g^3^3

=-

1

r^2sin^2

.

(11.1.6)

Теперь может быть проведено вычисление элементов тензора кривизны. Эти вычисления напрямую приводят к цели, однако они скучны и утомительны, поскольку в символах Кристоффеля имеется достаточно много производных и должно быть вычислено довольно много сумм.

Когда всё это проделано, то компоненты тензора кривизны могут быть вычислены через функции и и их производные по отношению ко времени t и радиальной координате r. Для того, чтобы запись была более экономной, мы используем штрихи и точки для обозначения производных следующим образом:

'

=

r

,

=

t

,

и т.д.

(11.1.7)

Точные выражения для тензора Римана являются следующими:

R^2

=-

e

^-

1

2

''

+

1

4

^2

-

1

4

''

+

e

^-

1

2

+

1

4

^2

-

1

4

R^2

=

R^3

=-

1

2r

'e

^-

R^2^1

=

R^3^1

=

1

2r

'e

^-

R^3^2

=-

1

r^2

e

^-

-

1

R^2

=

R^3

=-

1

2r

e

^-

(11.1.8)

Все остальные компоненты равны нулю, за исключением тех, которые могут быть получены тривиальной перестановкой индексов некоторого элемента в соотношениях (11.1.8).

11.2. О связи между материей и кривизной

Именно тензоры, которые выводятся из тензора кривизны, связаны с тензором энергии-импульса. Комбинации, включающие в себя тензор кривизны и необходимые нам в дальнейшем, есть следующие

G

=

R

-

1

2

g

R

.

(11.2.1)

Компоненты тензора G имеют довольно простое выражения через суммы элементов R. Например, диагональные элементы есть

G

=

R^1^2

+

R^1^3

+

R^2^3

,

G^1

=

R^2

+

R^3

+

R^3^2

.

(11.2.2)

Другими словами, каждый из этих компонентов включает в себя сумму по таким элементам R, в индексы которых не включён диагональный индекс. Для недиагональных элементов мы также получаем очень простые выражения. Например,

G

=

R^2

+

R^3

,

G^2

=

R^3^2

+

R^2

,

(11.2.3)

и по аналогии с этими компонентами мы можем легко записать соответствующие выражения для других компонентов.

Простота выражений рассмотренных сумм может навести нас на мысль об интерпретации кривизны через характеристики распределения вещества. Мы ранее обсудили кривизну двумерной поверхности через относительное изменение длины окружности или площади круга по отношению к их величинам в плоском пространстве через измеренную величину их радиуса:

Длина окружности

=

2r

(1-

Kx

площадь)

(11.2.4)

где K - коэффициент. Для трёхмерного мира изменение длины окружностей зависит от плоскости, на которой рисуются круги, о которых идёт речь, но можно определить среднюю кривизну посредством измерения отличия от 4r^2 площади сферы радиуса r. Получаемый результат должен быть следующим

площадь

=

4r^2

1

+

1

9

r^2R

,

(11.2.5)

где R - скаляр, получаемый двойной свёрткой тензора кривизны.

Связь этой идеи с теорией гравитации может быть получена, если мы попытаемся придать концептуальное значение сумме R^1^2+R^2^3+R^1^3, что есть компонент тензора G, который равен компоненту 44 тензора энергии-импульса.

Эта сумма есть в точности то, что мы должны называть средней кривизной трёхмерного пространства, которое перпендикулярно оси времени. Таким образом, мы можем дать словесную интерпретацию теории гравитации следующим образом: рассмотрим небольшую трёхмерную сферу с заданной площадью поверхности. Её действительный радиус превышает радиус, вычисляемый в евклидовой геометрии (площадь/4), на величину, которая пропорциональна количеству вещества внутри этой сферы (r-площадь/4=G/3c^2m_внутри) (один ферми на 4 миллиарда метрических тонн).

Эта интерпретация используется прямо для компонента 44, который есть плотность вещества (или энергии) для вещества внутри этой сферы. Другие компоненты тензора кривизны правильно выводятся, когда мы требуем, чтобы один и тот же результат получался в любой координатной системе независимо от её скорости.

11.3. Метрика Шварцшильда, поле вне сферической звезды

Выражения для компонентов тензора G через функции и являются следующими

G

=

1

r

'e

^-

-

1

r^2

(e

^-

-1)

=

1

r^2

d

dr

r

(e

^-

-1)

,

G^1

=-

1

r

'e

^-

-

1

r^2

(e

^-

-1)

,

G

=

1

r

e

^-

,

G^1

=-

1

r

e

^-

,

G^2

=

e^-

2r

('-')

-

e^-

4