Фейнмановские лекции по гравитации

Если тензорная плотность T равна нулю всюду, за исключением нитеобразной области, вклад в поверхностный интеграл равен нулю за исключением тех мест, где нить пересекает поверхность, и которые соответствуют импульсу частицы ”до” и ”после”, если эти поверхности берутся в постоянный момент времени. Преобразуя этот результат к дифференциальной форме, в конце концов получаем результат, заключающийся в том, что движение следует уравнению геодезических:

d^2z

ds^2

+

dz

ds

dz

ds

=

0.

(10.2.9)

Возможность такого вывода приводит к утверждению, что уравнения Эйнштейна одновременно определяют движение материи и гравитационных полей. Это утверждение вводит в заблуждение и совершенно не выглядит так замечательно, как это может показаться с первого взгляда. Давайте вспомним, что если у нас есть свободная частица, движущаяся сама по себе вдали от каких-либо других тел, тогда законы сохранения энергии и количества движения определяют полностью её движение. В теории гравитации свободно падающая частица становится эквивалентной свободной частице, так что вновь наличие закона сохранения энергии оказывается достаточным для того, чтобы полностью определить движение. Но обычная физическая ситуация не является настолько простой, как описанная выше. Когда мы имеем нечто большее, чем только гравитация и частица, уравнения движения не следуют только из законов сохранения энергии и импульса. В электродинамике сохранение заряда должно содержаться в каждом решении уравнений Максвелла, так что можно сказать, что этот закон сохранения есть следствие уравнений Максвелла. Но это условие не даёт всего необходимого для того, чтобы построить уравнения движения для зарядов, полей, которые они задают, и сил, с которыми эти заряды действуют друг на друга. Подобно этому в теории гравитации имеет место сохранение энергии и количества движения, но этого не достаточно, чтобы определить движение планет и Луны для случая, когда эти объекты не являются точками, и законы физики, отличные от закона сохранения энергии, требуются для того, чтобы уяснить их поведение в гравитационном поле.

10.3. Действие для материальных полей в гравитационном поле

Следующее, что мы рассмотрим - подготовим переход к квантовой теории. Если скалярные частицы описываются скалярным полем , тогда соответствующий вклад в действие есть

S

_m

=

1

2

dx

(

_,

^,

-

m^2^2

).

(10.3.1)

Легко может быть сделано обобщение на случай криволинейных координат; мы предполагаем, что

S

_m

=

1

2

dx

-g

(

g

_,

_,

-

m^2^2

).

(10.3.2)

Это выражение является очевидным образом инвариантным при произвольных координатных преобразованиях, это есть одно из налагаемых на него требований, и приводится к соответствующему выражению для плоского пространства. Тем не менее, мы можем выписать другие выражения, которые являются идеально правильными инвариантами, квадратичными по полям , и которые включают в себя тензор кривизны. Все эти выражения обращаются в нуль в том случае, когда пространство становится плоским. Возможно, что действие должно содержать пропорции и соответствующих членов, например,

-

dx

-g

R^2

+

dx

-g

(

R

_,

_,

).

(10.3.3)