Фейнмановские лекции по гравитации

Используя эти соотношения, путём прямых вычислений можно получить, что соотношения (10.1.14) и (10.1.15) эквивалентны. Таким образом, мы видим, что инвариантность действия приводит к построению тензорной плотности, которая автоматически имеет нулевую ковариантную дивергенцию. Так как ковариантная производная метрического тензора g обращается в нуль, то ковариантная производная (-g)_; также обращается в нуль. (Заметим для точности, что обычная производная (-g)_, есть не то же самое, что ковариантная производная, поскольку -g есть скалярная плотность, а не скаляр). Тензор, ассоциированный с тензорной плотностью G также является бездивергентным,

G

=

G

-g

,

G

_;

=

0.

(10.1.25)

В этой связи нам следует прояснить некоторое положение, которое достаточно кратко, но иногда оказывается довольно запутанным. В лекции 6 мы работали с функциональными уравнениями (например, соотношение (6.2.3) того же вида, что и соотношение (10.1.2)); решения этих уравнений являются в действительности тензорными плотностями, а не тензорами. Тензорная плотность T удовлетворяет уравнению

T

_,

=-

T

,

(10.1.26)

где T=-gT, но тензор энергии-импульса T удовлетворяет следующему соотношению

T

_,

=-

T

-

1

2g

g

_,

T

.

(10.1.27)

10.2. Действие для классических частиц в гравитационном поле

Следующее, что мы обсудим, это то, как записать общий закон физики, который описывает не только гравитационные поля, но также и вещество. Мы предполагаем, что такой закон может быть выведен из принципа наименьшего действия; математическая формулировка которого состоит в том, что вариация действия равна нулю

S

=

dx

L[

g

,

A

, …]

(10.2.1)

Плотность лагранжиана L содержит различные виды полей, например, поле тензора гравитации g, электромагнитное поле A и, если вещество есть скаляр, поле вещества скаляра . Когда мы вариируем это действие по отношению к различным полям, мы получаем уравнения распространения для соответствующих полей. Мы написали одну часть этого действия; давайте обозначим ту часть действия, которая ранее была пропущена, через S_m которая зависит от полей материи и электромагнитных полей A и всех других полей, какие мы только знаем. Когда мы вычисляем вариацию от действия

S

=

S

_g

+

S

_m

=-

1

2^2

dx

-g

R

+

S

_m

,

(10.2.2)

по отношению к g, мы получаем следующее уравнение:

S_g

g

=

1

2^2

-g

R

-

1

2

g

R

=-

S_m

g

.

(10.2.3)

Тензорная плотность энергии-импульса вещества T должна быть вариационной производной S_m

T

=-

2

S_m

g

,

(10.2.4)

в том случае, если тензор T должна быть источником гравитационного поля. Теперь нам понадобится несколько примеров тензора T. Если мы не можем вычислить тензор T, исходя из некоторого физического принципа, тогда нет теории гравитации, так как мы не знаем, каким образом поля связываются с любым другим объектом.

Существуют некоторые требования непротиворечивости, подобные тем, которые мы находим в электродинамике. Для того, чтобы решить уравнения Максвелла, нам необходимо иметь токи. Это должны быть сохраняющиеся токи, а не просто произвольные токи. Сохраняющиеся токи источника, имеющие столь важное значение, получаются путём решения некоторых других задач физики, описываемых некоторым независимым законом, таким как Закон Ома, или Закон Гука, или уравнение Шрёдингера для таких и подобных систем. Если у нас не было таких других законов, то теория электромагнитных полей была бы бесполезной и не имела бы никакого значения.