Фейнмановские лекции по гравитации

Теперь, когда мы определили такое понятие, как перенос вектора параллельно самому себе, мы можем получить важную формулу для тензора кривизны при движении по траектории ABCD на рис. 9.2. Разности в векторах при каждом инфинитезимальном перемещении задаются символами Кристоффеля . Но так как эти разности не являются в точности теми же самыми вдоль (AB) и (CD), и даже, если бы эти перемещения были бы противоположны одно другому, вектор не вернулся бы к своей исходной величине. Мы можем понять, каким образом символы Кристоффеля оказываются вовлечены в доказательство этого факта. Выполняя алгебраические преобразования, приходим к соотношению (9.2.14).

Можно показать, что тензор кривизны удовлетворяет тождеству Бианки

R

_;

+

R

_;

+

R

_;

=

0.

(9.3.7)

Сейчас без подготовки я не стал бы говорить о геометрическом значении тождества Бианки. Имеется обычное уравнение электродинамики, которое может быть записано в виде, идентичном виду тождества Бианки, за исключением числа измерений. Тензор поля задаётся через векторный потенциал следующим соотношением:

F

=

A

x

-

A

x

,

(9.3.8)

другими словами F - ротор некоторого вектора. Но свойства содержащиеся в утверждении, что F есть ротор, эквивалентным образом также хорошо описываются тождеством

F

_,

+

F

_,

+

F

_,

=

0.

(9.3.9)

которое имеет вид, похожий на тождество Бианки. Свойства ротора могут быть связаны с криволинейным интегралом, если мы используем теорему Стокса¹

G

·

dr

=

(rot G)

·

dS

,

(9.3.10)

где интеграл в правой части соотношения представляет собой поверхностный интеграл по любой поверхности, ограниченной замкнутой кривой .

¹ Мы используем более распространённое обозначение в отечественной литературе для ротора (”rot”), а не ”curl”, как в лекциях Фейнмана (Прим. перев.)

Для случая гравитации аналогия может быть следующая: криволинейный интеграл представляет изменение вектора, когда мы перемещаем его, оставляя параллельным самому себе, вдоль замкнутой кривой . Такое общее изменение возможно связывается с интегралом по любой двумерной гиперповерхности, ограниченной кривой . Доказательство такого утверждения может быть получено по аналогии с доказательством теоремы Стокса, в котором рассматривается разделение конечной поверхности инфинитезимальной сеткой, например, как показано на рис. 9.4; показывается, что сумма вкладов от любой инфинитезимальной сетки равна криволинейному интегралу. Когда рассматривается аналогия для этой ситуации в пространстве более высоких размерностей, то мы можем лучше понять значение тождества Бианки для описания сущности кривизны пространства.

Рис. 9.4.

9.4. Связь между кривизной и материей

Мы видели, как эффекты, связанные с действием гравитационных полей, могут быть описаны в рамках нашей геометрической интерпретации через тензор кривизны R. Осталась только одна задача, состоящая в том, чтобы связать тензор кривизны с источниками гравитации, материи и энергии. Первое, что мы делаем для этого, мы производим свёртку тензора кривизны по первому и последнему индексам и получаем тензор, который называется тензором Риччи

R

=

R

.

(9.4.1)

В этом соотношении указан единственный способ, каким можно свернуть один раз тензор кривизны. Следующий намёк приходит из рассмотрения обобщённого закона сохранения энергии и импульса, который гласит, что свёрнутая ковариантная производная или, иначе говоря, ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса, должна быть равна нулю.

Мы ищем вид соотношения, включающего в себя тензор Риччи таким образом, что его свёрнутая ковариантная производная является тождественным нулём. Ответ получается из свёртывания дважды тождества Бианки (9.3.7). Свёртывание по индексам приводит к выражению, включающему в себя тензоры Риччи

R

_;

-

R

_;

+

R

_;

=

0.

(9.4.2)

Свёртывая по индексам (,), мы получаем

R

_;

-

R

_;

-

R

_;

=

0.

(9.4.3)

Таким образом, тензорная величина, которая имеет нулевую ковариантную производную, есть

R

-

1

2

g

R

;

=

0.

(9.4.4)

Гипотеза Эйнштейна состояла в том, что эта величина в точности есть тензор энергии-импульса. Для того, чтобы записать это в эйнштейновской форме, мы просто поднимаем один индекс для того, чтобы записать дважды ковариантный тензор

G

=

R

-

1

2

g

R

=

^2

T

,

G

;

=

0.

(9.4.5)

Первое уравнение (9.4.5) определяет полный закон гравитации Эйнштейна; т.е. это отправная точка всей нашей работы. G часто называется тензором Эйнштейна.

После того, как мы установили связь между тензором энергии-импульса и тензором кривизны, возникает интересный вопрос. Наша интуиция могла бы предполагать, что если повсюду в пространстве нет материи и давлений, геометрия должна бы быть плоской, описываемой метрикой Минковского специальной теории относительности. Тем не менее, оказалось возможным получить решения такие, что

T

=

0

всюду и, несмотря на это,

R

/=

0.

(9.4.6)

Наиболее интересным из таких решений является решение А.Тауба. Это решение наиболее интересно, поскольку оно не зависит от времени. Тем не менее, могут быть другие решения такой задачи, так мы можем спросить, можем ли мы иметь гравитацию без того, чтобы имелись источники?