Фейнмановские лекции по гравитации

Вследствие того, что g есть симметричный тензор, мы всегда можем ввести вращение таким образом, что тензор будет диагональным; в этом случае

(ds)^2

=

D(dt)^2

-

C(dz)^2

-

B(dy)^2

-

A(dx)^2

.

(10.1.4)

Отсюда мы видим, что элемент объёма dx не является инвариантом; должным образом выбранный инвариантный элемент объёма есть

ABCD

dx'

dy'

dz'

dt'

=

-g

dx'

,

(10.1.5)

где g'=Det g'. Если мы делаем ортогональные преобразования, то dx=dx' и также определитель Det g равен Det g'. Таким образом, общее выражение для инвариантного элемента объёма есть

-g

dx

.

(10.1.6)

Величина -g есть скалярная плотность. Это означает, что её изменение при координатном преобразовании получается умножением на якобиан преобразования

-g'

=

x

x'

-g

.

(10.1.7)

Тензор кривизны появляется тогда, когда мы вычисляем вариацию величины S_g по отношению g

S_g

g

=

1

2^2

-g

R

-

1

2

g

R

.

(10.1.8)

Это происходит из-за того, что мы можем использовать интеграл от R как действие гравитационной части полной задачи.

Позвольте мне отметить, что поскольку этот тензор давления появляется при таком подходе из вариационного принципа, его ковариантная дивергенция с необходимостью равна нулю (это утверждение впервые, я считаю, было отмечено Эддингтоном). Мы увидели эту связь с другого направления, заключающегося в том, что мы могли бы вывести вариационный принцип при условии, что мы исходим из тензора с нулевой дивергенцией. Доказательства, которые мы предлагаем, не являются строгими; мы не беспокоимся о строгости, поскольку факты составляют существо дела, а не их доказательства. Физика может развиваться без доказательств, но мы не можем продолжать развивать теорию без фактов. Доказательства полезны в том смысле, что они являются хорошими упражнениями; если факты верны, тогда доказательства являются предметом игры с корректным использованием алгебры.

Мы хотим показать, что если функционал

S

_g

=

dx

[g

]

,

(10.1.8')

есть инвариант при координатных преобразованиях, тогда ковариантная дивергенция вариации S_g по отношению g тождественно равна нулю. Делая инфинитезимальное преобразование и переходя к штрихованным координатам x->x',

x

=

x'

+

h

(x')

,

(10.1.9)

изменение g задаётся соотношением

g

->

g'

(x')

=

g

(x')

+

h

_,

g

(x')

+

h

_,

g

(x')

+

+

h

g

_,

(x')

.

(10.1.10)

Выражая действие в новых координатах, опуская штрихи у переменных, по которым ведётся интегрирование, инвариантное действие выражается в виде

S

_g

=

dx

[g'

]

=

dx

[g

]

+

+

dx

g

(

h

_,

g

+

h

_,

g

+

h

g

_,

).

(10.1.11)

Когда мы производим интегрирование по частям второго слагаемого в правой части этого выражения, мы преобразуем его к выражению, которое включает в себя функциональные производные функции . Мы кладём его равным нулю, так как мы знаем, что изменение в действии должно быть равно нулю при любом h вследствие вида функции

x

g

g

-

1

2

g

g

x

=

0.

(10.1.12)

Обозначим G вариацию величины 2^2S_g по отношению к g:

G

=

2^2

S_g

g

.

(10.1.13)

Величина G есть контравариантная тензорная плотность второго ранга. Используя это определение, уравнение (10.1.12) можно переписать в виде

g

G

,

-

1

2

g

_,

G

=

0,

(10.1.14)

которое эквивалентно утверждению, что ковариантная дивергенция G равна нулю

G

_;

=

0.

(10.1.15)

Для демонстрации эквивалентности некоторых соотношений, включающих в себя ковариантные производные, удобно использовать некоторые соотношения, которые мы приведём сейчас для того, чтобы в дальнейшем их использовать. Вначале вычислим свёрнутые символы Кристоффеля.

Используя определение, получим

=

g

[,]

=

1

2

g

[

g

_,

+

g

_,

-

g

_,

].

(10.1.16)

Второй и третий члены взаимно сокращаются, так как тензор g - симметричен. Оставшийся член содержит обратную матрицу g умноженную на градиент g. Из хорошо известной теоремы об определителях следует, что алгебраическое дополнение M матрицы g связывается с соответствующим элементом обратной матрицы соотношением

g

=

M

g

,

(10.1.17)

и таким образом

g

_,

=

g

_,

M

=

g

_,

g

g

.

(10.1.18)

Следовательно,

g

g

_,

=

[log(-g)]

_,

,

(10.1.19)

и свёрнутый символ Кристоффеля равен следующему соотношению

=

[log(-g)]

_,

=

1

-1

(

-1

)

_,

.

(10.1.20)

Кроме того, имеются следующие полезные формулы для ковариантных производных. Для скалярных функций ковариантные градиенты оказываются равными обычным градиентам

_;

=

_,

.

(10.1.21)

Для контравариантного вектора ковариантная дивергенция есть

A

_;

1

-g

-g

A

,

(10.1.22)

Ковариантный ротор оказывается равным обычному ротору

A

_;

-

A

_;

=

A

_,

-

A

_,

(10.1.23)

Для тензоров второго ранга ответы оказываются различными (в зависимости от симметрии), для антисимметричных тензоров

F

_;

=

1

-g

-g

F

,

если

F

=-

F

.

(10.1.24а)

Для симметричных тензоров

T

_;

=

1

-g

T

-1

,

-

1

2

g

_,

T

,

если

T

=

T

.

(10.1.24б)