Феномен науки

Утверждения об абсолютно точном равенстве отрезков, углов и т. п. это просто некоторые состояния системы «геометрический язык». Так как эта система дискретна и детерминированна — при условии соблюдения правил логического вывода, то, если из условий задачи следует, что AB = BC, мы неизменно будем получать этот результат, сколько бы раз ни повторяли доказательство (предполагается, конечно, что система аксиом не противоречива — только такие системы имеют право на существование в математике). Поскольку условие задачи уже формулируется на геометрическом языке, весь путь от условия к результату есть синтаксическое преобразование L₁ → L₂ внутри дискретной языковой системы. Совсем другой статус имеют утверждения эмпирического языка. Сам по себе этот язык, конечно, тоже дискретен, но эмпирические утверждения отражают семантические преобразования L₁ → S₁ выводящие нас в область неязыковой действительности, которая не является ни дискретной, ни детерминированной. Когда мы говорим, что два стержня имеют равную длину, это означает, что процесс их измерения будет всякий раз давать одинаковый результат. Однако из опыта известно, что, имея возможность неограниченно повышать точность измерения, мы рано или поздно обязательно получим разнящиеся значения длины, поэтому эмпирическое утверждение об абсолютно точном равенстве вообще лишено смысла. Другие утверждения эмпирического языка, которые имеют смысл и могут быть выражены на языке исчисления предикатов, например «стержень номер 1 меньше, чем стержень номер 2», обладают той же «абсолютной точностью», являющейся тривиальным следствием дискретности языка, что и математические утверждения о равенстве отрезков: это утверждение либо «в точности» истинно, либо «в точности» ложно. Однако из-за вариаций процесса измерения ни то, ни другое не является абсолютно достоверным.

10.6. Достоверность утверждений математики

Теперь о достоверности математических утверждений. Платон выводил ее из идеальности предмета математики, из того факта, что математика не опирается на призрачные и переменчивые данные чувственного опыта. Чертежи и символы, по Платону, являются лишь вспомогательным средством для математики, настоящие объекты, с которыми он оперирует, содержатся в его воображении и представляют собой результат восприятия разумом мира идей подобно тому, как чувственный опыт есть результат восприятия органами чувств материального мира. Нельзя не согласиться с тем, что воображение играет в работе математика решающую роль (как, впрочем, и во всех областях творческой деятельности). Правда, говорить, что математические объекты содержатся в воображении не совсем правильно: в основном они все-таки содержатся в чертежах и текстах, а воображение выхватывает их лишь небольшими частями. Мы не содержим, а, скорее, пропускаем математические объекты через воображение, и свойства нашего воображения определяют функционирование математического языка. Что же касается источника, определяющего содержание нашего воображения, то тут мы фундаментально расходимся с Платоном: источником является тот же чувственный опыт, что и в эмпирических науках. Поэтому математика создает — хотя и через посредство воображения — модели все того же, единственно существующего (насколько нам известно) мира, в котором мы живем.

Рис. 10.3. Построение равностороннего треугольника

Надо сказать, что греческие математики, создав изумительное по красоте здание логически строгих доказательств, все же оставили в нем ряд дырок, причем дырки эти лежат, как мы уже отмечали, в самых нижних этажах здания — в области определений и элементарнейших свойств геометрических фигур. А это и свидетельствует о завуалированном обращении к столь презираемому платониками чувственному опыту. Математика времен Платона дает даже более яркий материал, чем современная математика, для опровержения тезиса о её независимости от опыта.

Первое доказываемое предложение первой книги Евклида содержит способ построения равностороннего треугольника по заданной его стороне. Способ таков (рис. 10.3). Пусть AB — заданная сторона треугольника. Из точки A, взятой в качестве центра, опишем окружностьπ_A радиуса AB. Такую же окружность (π_B) опишем из точки B. Обозначим через C любую из точек пересечения этих окружностей. Треугольник ABC равносторонний, ибо AC = CВ = AB.

В этом рассуждении есть логическая дырка: откуда следует, что построенные нами окружности вообще пересекутся? Вопрос этот чрезвычайно каверзный, ибо факт наличия точки пересечения C нельзя отнести ни к свойствам окружности, ни даже к свойствам пары окружностей (ибо они отнюдь не всегда пересекаются); мы имеем здесь дело с более специфическим свойством данной ситуации. Вероятно, Евклид чувствовал наличие здесь дырки, но не нашел, чем ее заткнуть.