Феномен науки

Под влиянием идеализма Платона математики древней Греции стремились изгнать из своей науки все, что можно истолковать как обращение к данным чувственного опыта. С одной стороны, это имело положительные последствия, так как способствовало разработке техники доказательства и привело к созданию понятия о дедуктивной теории. Греки старались сделать доказательства логически безукоризненными, исключить из них сомнительные выводы и неявные допущения, апеллирующие к наглядности. Они доказывали, а не показывали. Число явных допущений они стремились свести к минимуму, оставить из них лишь те, которые можно было считать выражением свойств «самих идей», а не вещей, т. е. свойств, открывающихся разуму, «внутреннему взору», а не органам чувств. Эти допущения включались в определения исходных понятий или, точнее, слов, ибо понятия (идеи) существовали для греков как объективная реальность, независимая от всяких слов, а определения нужны были лишь для того, чтобы не ошибиться в установлении соответствия между словами и понятиями. Так что явные допущения, делаемые греческими математиками, представлялись им не определениями в современном смысле слова (согласно которому определение порождает математический объект), а просто указаниями на те из истинных свойств реально существующих идей, которые постигаются разумом легче, чем другие, — без вспомогательных рассуждений. Если исключить это отличие и вытекающие из него вольности в обращении с элементарнейшими свойствами геометрических фигур, то в остальном греческая математика удовлетворяет самым высоким современным стандартам; в соотношении логической обоснованности понятий и строгости вывода она несравненно выше, чем европейская математика до середины XIX в. С другой стороны, образ мышления, выраженный в философии Платона, имел и отрицательное влияние. Прежде всего, он приводил к определенному «чистоплюйству» греческих ученых, нежеланию заниматься проблемами, имеющими прикладное, практическое значение. Это пренебрежение распространялось даже на приближенные вычисления. «Приближенными вычислениями стыдно заниматься свободному человеку, они — удел раба», — говорилось в то время. Действительно, приближенные вычисления не приводят к истинным соотношениям, а значит, и не имеют никакого отношения к миру идей; это занятие того же рода, как возделывание масличных деревьев или торговля оливковым маслом. Такая позиция, конечно, ограничивала приток новых задач и идей, способствовала канонизации и регламентации научной мысли, сдерживая тем самым ее развитие. Но, сверх этого, платонизм имел и более конкретное отрицательное влияние на математику, помешав грекам создать алгебраический язык. Это смогли сделать только менее вышколенные и более практичные европейцы. Ниже мы более подробно рассмотрим историю создания современного алгебраического языка и тормозящую роль платонизма, но сначала поговорим об ответах, которые дает современная наука на вопросы, поставленные в платоновское время, и о том, как выглядят ответы, данные Платоном, в исторической ретроспективе.

10.4. Что такое математика?

Для нас математика — это прежде всего язык, позволяющий создавать определенного рода модели действительности — математические модели. Как и в любом другом языке (или ответвлении языка), языковые объекты математики — математические объекты — суть материальные предметы, фиксирующие определенные функциональные единицы — математические понятия. Когда мы говорим, что объекты «фиксируют функциональные единицы», мы понимаем под этим, что человек, используя распознающие способности своего мозга, совершает над этими объектами или в связи с ними определенную языковую деятельность. Ясно, что не конкретный вид (форма, вес, запах) математического объекта играет роль в математике, а именно языковая деятельность, с ним связанная. Поэтому термины «математический объект» и «математическое понятие» часто употребляют как синонимы. Языковая деятельность в математике естественным образом распадается на две части: установление связи между математическими объектами и неязыковой реальностью (эта деятельность определяет семантику математических понятий) и преобразования внутри языка — математические выкладки и доказательства. Математической деятельностью обычно называют только вторую часть, а первую называют приложением математики.