Феномен науки

Итак, доказательство формулы само стало формальным объектом, формулой определенного вида (последовательность логических высказываний), вследствие чего возникла возможность чисто синтаксического исследования доказательств как свойств некоторой языковой машины. На эту возможность указал Д.Гильберт (1862–1943), крупнейший математик XX в., который вместе со своими учениками и заложил основы нового направления. Гильберт ввел понятие метаязыка и назвал новое направление метаматематикой. Термин метасистема, который мы ввели в начале книги (и который сейчас является общепринятым), возник в результате обобщения терминологии Гильберта. Действительно, переход к исследованию математическими средствами математических доказательств – яркий пример крупномасштабного метасистемного перехода.

Основная цель, которую преследовала программа, намеченная Гильбертом, это доказательство непротиворечивости различных систем аксиом. Система аксиом называется противоречивой, если из нее можно вывести некоторую формулу q и ее отрицание ¬q. Легко показать, что если существует хотя бы одна такая формула, т. е. если теория противоречива, то из нее можно вывести любую формулу. Поэтому для аксиоматической теории вопрос о непротиворечивости системы аксиом, на которых она основана, имеет чрезвычайно большое значение. Этот вопрос допускает чисто синтаксическую трактовку: можно ли из заданных формул (наборов знаков), действуя по заданным формальным правилам, получить заданный формальный результат? Из такой постановки вопроса и исходил Гильберт; затем оказалось, что существуют и другие важные свойства теорий, которые можно исследовать синтаксическими методами. На этом пути было получено много интереснейших и важнейших результатов, главным образом негативного характера; однако мы не можем здесь на них останавливаться.

12.11. Формализация теории множеств

Понятие совокупности, или множества, принадлежит к числу фундаментальнейших понятий, данных нам природой, и предшествует понятию числа. В своем первичном виде оно не дифференцируется на понятие конечного и бесконечного множеств, однако, эта дифференциация появляется весьма рано; во всяком случае, в древнейших письменных памятниках мы уже находим понятие о бесконечности и бесконечном множестве. Это понятие использовалось в математике испокон веков, оставаясь чисто интуитивным и само собой разумеющимся, и не подвергаясь специальному рассмотрению, пока Георг Кантор (1845-1918) не создал в 70-х годах свою теорию множеств, которая вскоре легла в основу всей математики. Понятие множества (конечного и бесконечного) остается у Кантора по-прежнему интуитивным, он определяет его следующим образом: «Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией и нашей мыслью». Это «определение» является, конечно, не в большей степени математическим определением, чем «определение» Евклида «точка есть то, что не имеет частей». Но, несмотря на столь нечеткие исходные позиции, Кантор (опять-таки подобно греческим геометрам) создал стройную и логически последовательную теорию, с помощью которой ему удалось привести в замечательный порядок основные понятия и доказательства математического анализа. («Просто поразительно, — пишет Н.Бурбаки, — какую четкость постепенно приобретают у него понятия, которые, казалось, были безнадежно запутаны в классической концепции континуума».) С теорией множеств математики получили единообразный метод создания новых понятий — конструктов и доказательства их свойств. Так, например, действительное число есть множество всех последовательностей рациональных чисел, имеющих предел; отрезок действительной прямой — множество действительных чисел; функция — множество пар (x, f), где х и f — действительные числа.

К концу XIX в. теория множеств Кантора получает признание и естественным образом сочетается с аксиоматическим методом. Но тут разражается знаменитый «кризис основ» математики, продолжавшийся в течение трех десятилетий. В теории множеств были обнаружены «парадоксы», т. е. построения, приводящие к противоречиям. Первый парадокс обнаружил Бурали-Форти в 1897 г., затем появилось еще несколько. Мы приведем в качестве примера парадокс Рассела (1905 г.), который можно изложить, опираясь лишь на первичные понятия теории множеств и не нарушая в то же время требований математической строгости. Парадокс этот таков. Определим M как множество всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Казалось бы, это определение вполне законно, ибо образование множеств из множеств — одна из основ теории Кантора. Между тем оно приводит к противоречию. Чтобы сделать его более ясным, обозначим через Р(х) свойство множества х быть элементом самого себя. В символической форме

P(x) ≡ x ∈ x. (12.1)

Тогда по определению множества М все его элементы х обладают свойством, противоположным Р(х):

x ∈ M ≡ ¬P(x). (12.2)