Феномен науки

Определить вновь вводимый математический объект — значит указать его семантические связи с уже введенными объектами. За исключением тривиального случая, когда речь идет о пере обозначении — замене знака на знак, этих связей всегда бывает много и в них может участвовать много ранее введенных объектов. И вот вместо того, чтобы говорить, что новый объект связан так-то и так-то с такими-то и такими-то старыми объектами, говорят, что новый объект есть множество, построенное так-то и так-то из старых объектов. Например, рациональное число есть результат деления двух натуральных чисел: числителя на знаменатель. Число ⁵/₇ есть объект х такой, что значение функции «числитель» (x) есть 5, а значение функции «знаменатель» (x) есть 7. Между тем в математике определяют рациональное число просто как пару натуральных чисел. Точно так же надо было бы говорить только о реализации действительного числа различными последовательностями рациональных чисел, понимая под этим определенную семантическую связь между новыми и старыми языковыми объектами. Вместо этого говорят, что действительное число есть множество последовательностей рациональных чисел. В настоящее время эту терминологию следует рассматривать как пережиток платоновских воззрений, согласно которым важны не языковые элементы, а скрывающиеся за ними элементы «идеальной реальности»; поэтому, чтобы приобрести право на существование, объект должен был определяться как «реальное» множество. Идея множества выдвинулась на «руководящую работу» в математике как один из аспектов связи имя-значение (а именно того факта, что значением обычно является конструкция, состоящая из некоторого числа элементов), а вряд ли стоит доказывать, что связь имя-значение всегда была и будет основой языкового конструирования.

12.12. Трактат Бурбаки

В заключение этой главы нельзя не сказать хотя бы несколько слов о многотомном трактате И.Бурбаки «Элементы математики». Никола Бурбаки — коллективный псевдоним, за которым скрывается группа видных математиков, главным образом французских, сложившаяся в 30-х годах нашего столетия. Начало выпуску в свет «Элементов математики» было положено в 1939 г.

Объединение специалистов в различных областях математики в группу Бурбаки произошло на базе концепции математики как формализованного языка. Цель трактата — изложить с этой точки зрения все важнейшие достижения математики, представить математику как единый формализованный язык. И хотя трактат Бурбаки по разным поводам подвергается критике со стороны некоторых математиков, он, несомненно, является важной вехой развития математики по пути ее само осознания.

Популярно концепция Бурбаки изложена в статье «Архитектура математики». Не превращается ли математика в Вавилонскую башню, в скопление изолированных дисциплин — спрашивает автор в начале статьи. Имеем ли мы дело с одной математикой или с несколькими математиками? Ответ на этот вопрос дается такой. Современная аксиоматическая математика — единственный формализованный язык, выражающий абстрактные математические структуры, которые представляют собой не отдельные независимые объекты, а образуют иерархическую систему. Под структурой Бурбаки понимает некоторое число отношений между объектами, обладающих определенными свойствами. Оставляя объекты полностью неопределенными, и формулируя свойства отношений в виде аксиом, а затем, извлекая из них следствия по правилам логического вывода, мы получаем аксиоматическую теорию данной структуры. В переводе на наш язык, структура — это семантика математической модели. Из числа структур можно выделить несколько типов фундаментальных порождающих структур. К ним относятся алгебраические структуры (отражающие свойства композиции объектов), структуры порядка, топологические структуры (свойства, связанные с понятиями окрестности, предела, непрерывности). Кроме наиболее обшей структуры данного типа, т. е. структуры с наименьшим числом аксиом, в каждом типе порождающих структур мы находим структуры, полученные путем включения дополнительных аксиом. Так, в теорию групп входит теория конечных групп, теория абелевых групп, теория конечных абелевых групп. Комбинация порождающих структур дает сложные структуры, как, например, топологическая алгебра. Таким образом, возникает иерархия структур.

Как же используется аксиоматический метод в математическом творчестве? Именно здесь, пишет Бурбаки, аксиоматика больше всего сближается с экспериментальным методом. Следуя Декарту, она «разделяет трудности, чтобы лучше их разрешить». В доказательствах сложной теории она стремится разъединить главные пружины фигурирующих там рассуждений и, взяв их по отдельности, вывести из них следствия (расщепление моделей или структур, о котором мы говорили выше); затем, возвращаясь к исходной теории, она снова комбинирует предварительно выделенные структуры и изучает, как они взаимодействуют между собой.

¹ Энгельс Ф. Диалектика природы. М.: Госполитиздат, 1955. С.165.