Feynmann 3a

Разброс в импульсах, в согласии с соотношением неопре­деленностей, должен быть равен примерно h/а; поэтому, стре­мясь измерить как-нибудь импульс электрона (например, рас­сеивая на нем фотоны и наблюдая эффект Допплера от движу­щегося рассеивателя), мы не будем получать все время нуль (электрон не стоит на месте), а будем получать импульсы поряд­ка р»h/а. Кинетическая энергия электронов примерно будет равна ¹/₂mv² = Р²/2m = h²/2ma². (To, что мы сейчас делаем, в каком-то смысле есть анализ размерностей: мы прикидываем, как кинетическая энергия может зависеть от постоянной План­ка h, массы т и размера атома а. Ответ получается с точностью до численных множителей типа 2, p и т. д. Мы даже не опреде­лили как следует а.) Далее, потенциальная энергия равна част­ному от деления минус е² на расстоянии от центра, скажем, — е²/а (как мы помним, е² — это квадрат заряда электрона, деленный на 4pe₀). Теперь смотрите: когда а уменьшается, то потенциальная энергия тоже уменьшается, но чем меньше а, тем больше требуемый принципом неопределенности импульс и тем больше кинетическая энергия. Полная энергия равна

(38.10)

Мы не знаем, чему равно а, но зато мы знаем, что атом, обеспечивая свое существование, вынужден идти на компромисс, с тем чтобы полная энергия его была как можно меньше. Чтобы найти минимум Е, продифференцируем его по а, по­требуем равенства производной нулю и найдем а. Производ­ная Е равна

(38.11)

Уравнение dE/da=0 дает для а величину

(38.12)

Это расстояние называется воровским радиусом, и мы видим, что размеры атома — порядка ангстрема. Получилась пра­вильная цифра. Это очень хорошо, это даже удивительно хорошо, ведь до сих пор никаких теоретических соображений о размере атома у нас не было. С классической точки зрения атомы попросту невозможны: электроны должны упасть на ядра. Подставив формулу (38.12) для а₀ в (38.10), мы найдем энер­гию. Она оказывается равной

(38.13)

Что означает отрицательная энергия? А то, что, когда электрон находится в атоме, у него энергии меньше, чем когда он свобо­ден. Иначе говоря, в атоме он связан. И нужна энергия, чтобы вырвать его из атома; для ионизации атома водорода требуется энергия 13,6 эв. Не исключено, конечно, что потребуется вдвое или втрое больше энергии, или в p раз меньше, так как расчет наш был очень неряшлив. Однако мы схитрили и выб­рали все константы так, чтобы итог получился абсолютно пра­вильным! Эта величина -13,6 эв — называется ридбергом энергии; это энергия ионизации водорода.

Только теперь становится понятным, отчего мы не провали­ваемся сквозь пол. При ходьбе вся масса атомов наших боти­нок отталкивается от пола, от всей массы его атомов. Атомы сминаются, электроны вынуждены тесниться в меньшем объе­ме, и по принципу неопределенности их импульсы в среднем увеличиваются, а увеличение импульсов означает рост энер­гии. Сопротивление атомов сжатию — это не классический, а квантовомехаиический эффект. По классическим понятиям следовало ожидать, что при сближении электронов с прото­нами энергия уменьшится; наивыгоднейшее расположение по­ложительных и отрицательных зарядов в классической физи­ке — это когда они сидят верхом друг на друге. Классической физике это было хорошо известно и представляло загадку: ато­мы-то все же существовали! Конечно, ученые и тогда придумы­вали разные способы выхода из тупика, но правильный (будем надеяться!) способ стал известен только нам!