Feynmann 4a

После раскрытия квадрата в правой части мы получим сумму всевозможных перекрестных членов типа a₅cos5wtb₇cos7wt. Однако выше мы уже показали [уравнения (50.11) и (50.12)], что интегралы от всех таких членов по одному периоду равны нулю, так что останутся только квадратные члены, подобные a²₅cos²5wt. Интеграл от любого квадрата косинуса или синуса по одному периоду равен Т/2, так что получаем

Это уравнение называют «теоремой об энергии», которая гово­рит, что полная энергия волны равна просто сумме энергий всех ее фурье-компонент. Применяя, например, эту теорему к ряду (50.19), мы получаем

поскольку [f(t)]²=1. Таким образом мы узнали, что сумма квад­ратов обратных нечетных чисел равна p²/8. Точно так же, выпи­сав сначала ряд Фурье для функции и используя затем теорему об энергии, можно доказать результат, понадобившийся нам в гл. 45, т. е. что 1+¹/2⁴+¹/3⁴+... равно p⁴/90.

§ 6. Нелинейная реакция

Наконец, в теории гармоник есть одно очень важное явление, которое необходимо отметить, учитывая его практическую важ­ность, но это уже относится к области нелинейных эффектов. Во всех рассмотренных нами до сих пор системах все предпола­галось линейным; реакция на действие силы, например пере­мещение или ускорение, всегда была пропорциональна силам. Токи в электрической цепи были тоже пропорциональны на­пряжениям и т. д. Теперь мы хотим рассмотреть случаи, когда строгая пропорциональность отсутствует. Представим на ми­нуту устройство, реакция которого x_выход=x_вых в момент t опре­деляется внешним воздействием x_вход = x_вх в тот же момент t.

Например, x_вх может быть силой, а х_вых— перемещением, или х_вх— ток, а x_вых— напряжение. Если бы устройство было ли­нейное, то мы бы получили

x_вых(t)=Kx_вх(t), (50.24)

где К — постоянная, не зависящая ни от t, ни от х_ек. Предполо­жим, однако, что устройство только приблизительно линейное, т. е. на самом деле нужно писать

x_вых(t)=K[x_вх(t)+ex²_вх(t)]. (50.25)

где e мало по сравнению с единицей. Такие линейная и нелиней­ная реакции показаны на фиг. 50.4.

Фиг. 50.4. Реакции, а — линейная,

x_вых=kx_вх; б—нелинейная, x_вых =k(х_вх+ex²_вх).

Нелинейная реакция приводит к нескольким важным прак­тическим следствиям. Некоторые из них мы сейчас обсудим. Посмотрим сначала, что получается, если пропустить через по­добное устройство «чистый» тон. Пусть x_вх=coswt. Если мы по­строим график зависимости x_вых от времени, то получим сплош­ную кривую, показанную на фиг. 50.5.

Фиг. 50.5. Реакция нелинейного устройства на входящий сигнал coswt.

Для сравнения показана линейная реак­ция.

Для сравнения там же проведена пунктирная кривая, представляющая реакцию ли­нейной системы. Мы видим, что на выходе получается уже не косинусообразная функция. Она более острая в вершине и более плоская в основании. Поэтому мы говорим, что выходной сигнал искажен. Однако, как известно, такая волна не будет уже чистым тоном, а приобретает какие-то высшие гармоники Можно найти эти гармоники. Подставляя x_вх=coswt в уравнение (50.25), получаем

х_вых=К(coswt+ecos²wt). (50.26) Используя равенство cos²q = ¹/₂(l-cos2q), находим

x_вых=K(coswt+ e/2-e/2cos²wt) . (50.27)

Таким образом, в выходящей волне присутствует не только основ­ная компонента, которая была во входящей волне, но и некоторая доля второй гармоники. Кроме того, в выходящей волне появился постоянный член К(e/2), который соответствует сдви­гу среднего значения, показанному на фиг. 50.5. Эффект воз­никновения сдвига среднего значения называется выпрямлением. Нелинейное устройство будет выпрямлять и давать на выходе высшие гармоники. Хотя предположенная нами нелинейность только добавляет вторую гармонику, нелинейность высшего

порядка, например х³_вх или x⁴_вх, даст уже более высокие гармо­ники.

Другим результатом нелинейной реакции является моду­ляция. Если входящая функция содержит два (или больше) чистых тона, то на выходе получатся не только их гармоники, но и другие частотные компоненты. Пусть х_вх=Аcosw₁t+Bcosw₂t, причем w₁ и w₂ не находятся в рациональном отношении друг к другу. Тогда в дополнение к линейному члену (равному произ­ведению К на входящую волну) на выходе мы получим

x_вых=Ke(Acosw₁t+Bcosw₂t)², (50.28)

х_вых=Кe(А²cos²w₁t+В² cos²w₂t+2AB cosw₁tcosw₂t). (50.29)

Первые два члена в скобках уравнения (50.29) — старые зна­комые. Они дают нулевую и вторую гармоники, но последний член — это уже нечто новое.