Feynmann 4a

Вот как можно продемонстрировать эти гармонические соотно­шения. Давайте медленно нажмем клавишу до' так, чтобы она не зазвучала, но чтобы демпфер приподнялся. Если теперь нажать до, то вместе с основной гармоникой будет возбуждена и вторая гармоника, которая возбудит основную гармонику струны до'. Если теперь отпустить клавишу до (оставляя на­жатой клавишу до'), то демпфер заглушит струну до, и мы мо­жем услышать, как замирает тихий звук струны до'. Точно та­ким же образом третья гармоника до может вызвать звучание струны соль' или шестая гармоника до (которая звучит гораздо тише) может вызвать колебание основной гармоники струны соль".

Совершенно другой результат получится, если мы сначала потихоньку нажмем соль, а затем ударим по клавише до'. Третья гармоника до' будет соответствовать четвертой гармонике соль, так что будет возбуждена только четвертая гармоника соль. Мы можем услышать (если слушать очень внимательно) звук соль", который на две октавы выше, чем соль, которую мы нажа­ли! Можно придумать еще очень много комбинаций этой игры.

Попутно заметим, что мажорный лад можно просто опреде­лить условием, что каждый из трех мажорных аккордов (фа— ля—до), (до—ми—соль) и (соль—си-бемоль—ре) представляет последовательность тонов с отношением частот (4:5:6). Эти отношения и тот факт, что в октаве (до—до', соль—соль' и т. д.) частоты относятся как 1:2, определяют в «идеальном» случае весь строй, который называется «натуральным, или пифагорийским строем». Но обычно клавишные инструменты типа фор­тепьяно не настраиваются таким образом, а устраивается не­большая «подтасовка», так что для всех возможных начальных тонов отношение частот только приблизительно верно. При таком строе, названном «темперированным», октава (для кото­рой отношение частот по-прежнему равно 1:2) делится на 12 равных интервалов, так что отношение частот для каждого интервала равно (2)^1/12. Для квинты отношение частот будет уже не ³/₂, а (2)^7/12=1,499, но для большинства людей оно доста­точно близко к 3/2.

Итак, мы установили правила благозвучия через совпадение гармоник. Может быть, это совпадение и является причи­ной благозвучия? Кто-то утверждал, что два абсолютно чистых тона, т. е. тщательно очищенных от высших гармоник, не дают ощущения благозвучия или неблагозвучия (диссонанса), когда их частоты равны или приблизительно равны ожидаемому от­ношению. (Это очень сложный эксперимент, поскольку приго­товить чистые тоны очень трудно по причинам, которые мы увидим дальше.) Мы не можем с уверенностью сказать, срав­нивает ли ухо гармоники или занимается арифметикой, когда мы решаем, что звук нам нравится.

§ 4. Коэффициенты Фурье

Вернемся теперь к утверждению о том, что каждую ноту, т. е. любое периодическое колебание, можно представить в виде надлежащей комбинации гармоник. Хотелось бы знать, как можно найти нужную долю каждой гармоники. Конечно, если нам даны все коэффициенты а и b, то, пользуясь формулой (50.2), легко подсчитать функцию f(t). Теперь же вопрос со­стоит в том, как можно найти коэффициенты при различных гармониках, если нам задана функция f(t)? (Нетрудно испечь пирог, если есть рецепт, но как, отведав пирог, написать его рецепт?)

Фурье открыл, что на самом деле сделать это не очень труд­но. Член а₀ уж наверняка нетрудно найти. Мы говорили, что он равен среднему значению f(f) на протяжении одного периода (от t=0 до t=T). Легко увидеть, что это действительно так. Среднее значение синуса или косинуса на протяжении одного периода равно нулю. На протяжении двух, или трех, или дру­гого целого числа периодов оно тоже равно нулю. Таким обра­зом, среднее значение всех членов с правой стороны (50.2), за исключением только а₀, равно нулю. (Напомним, что мы должны выбрать w=2p/T.)

Далее, поскольку среднее значение суммы равно сумме сред­них, то среднее значение функции f(t) равно просто среднему от а₀. Но ведь а₀ — просто постоянная, и ее среднее значение равно ей самой. Вспоминая определение среднего, мы полу­чаем

Найти остальные коэффициенты ненамного труднее. Чтобы сде­лать это, используем один фокус, открытый самим Фурье. Предположим, что мы умножили обе стороны уравнения (50.2) на какую-то гармоническую функцию, скажем на cos7wt. При этом получается

А теперь усредним обе стороны равенства. Среднее от члена a₀cos7wt по периоду Т пропорционально среднему от косинуса по семи его периодам. Но последнее просто равно нулю. Среднее почти всех остальных членов тоже будет равно нулю. Действи­тельно, давайте рассмотрим член с а₁. Мы знаем, что в общем случае

cosAcosВ=¹/₂cos(А+B)+¹/₂cos (А-В), (50.5)

так что член с а₁ равен

a₁(cos8wt+cos6wt). (50.6)

Таким образом получаются два косинуса: один с восемью пол­ными периодами, а другой с шестью. Оба они равны нулю. Поэтому среднее значение этого члена тоже равно нулю.