Feynmann 5

по любой поверхности. Но раз интеграл по любой поверхности равен нулю, то подынтегральное выражение обязано быть равно нулю. Значит,

Тот же результат был доказан в гл. 2, § 7 при помощи векторной алгебры.

Рассмотрим теперь частный случай, когда на маленький контур Г натягивается большая поверхность S (фиг. 3.13). Мы хотим посмотреть, что случится, когда контур стянется в точку. Тогда граница поверхности исчезнет, а сама поверхность превратится в замкнутую. Если вектор С повсюду конечен, то криволинейный интеграл по Г должен стремиться к нулю по мере стягивания контура (интеграл в общем-то пропорционален длине контура Г, а она убывает). Согласно теореме Стокса, поверхност­ный интеграл от (СXС)_n тоже должен убывать до нуля. Когда поверхность замыкается, то при этом каким-то образом в ин­теграл привносится вклад, который взаимно уничтожается с накопленным

ранее. Получается новая теорема:

Это нас должно заинтересовать, потому что у нас уже есть одна теорема о поверхностном интеграле векторного поля. Та­кой поверхностный интеграл равен объемному интегралу от дивергенции вектора, как это следует из теоремы Гаусса [уравнение (3.18)]. Теорема Гаусса в применении к СXС утверждает, что

(3.40)

Мы заключаем, что интеграл в правой части должен обращать­ся в нуль и что это должно быть справедливо для любого векторного по­ля С, каким бы оно ни было.

(3.41)

Раз уравнение (3.41) выполнено для произвольного объема, то в каждой точке пространства подын­тегральное выражение должно быть равно нулю. Получается, что

Тот же результат был выведен с помощью векторной алгебры в гл. 2, § 7. Теперь мы начинаем понимать, как все здесь прила­жено одно к другому.

§ 8. Итоги

Подытожим теперь все, что мы узнали о векторном исчисле­нии. Вот самые существенные моменты гл. 2 и 3.

1. Операторы д/дх, д/ду и д/dz можно рассматривать как три составляющих векторного оператора С; формулы, сле­дующие из векторной алгебры, остаются правильными, если этот оператор считать вектором

2. Разность значений скалярного поля в двух точках равна криволинейному интегралу от касательной составляющей гра­диента этого скаляра вдоль любой кривой, соединяющей пер­вую точку со второй:

(3.42)

Поверхностный интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности равен интег­ралу от дивергенции вектора по объему, лежащему внутри этой поверхности:

(3.43)

4. Криволинейный интеграл от касательной составляющей произвольного вектора по замкнутому контуру равен поверх­ностному интегралу от нормальной составляющей ротора этого вектора по произвольной поверхности, ограниченной этим кон­туром

(3.44)

От редактора. Начиная изучать уравнения Максвелла, обратите вни­мание, что в этих лекциях используется рационализированная система единиц, в которой уравнения Максвелла не содержат коэффициентов.

Более привычно вместо e₀ писать e₀/4p; тогда коэффициент 4p исче­зает из знаменателя закона Кулона (4.9), но появляется в правых частях уравнений (4.1) и (4.3). [Улучшение системы единиц всегда похоже на Тришкин кафтан.]

Кроме того, вместо квадрата скорости света вводят новую постоян­ную m₀=e₀/c², называют ее (довольно неудачно) магнитной проницаемос­тью пустоты (так же, как e₀ называют диэлектрической проницаемостью пустоты) и обозначают e₀E=D, B=m₀H.

Будьте осторожны! Проверяйте систему единиц, когда открываете новую книгу об электричестве!

*Конечно, последующие выкладки в равной мере относятся и к лю­бому прямоугольному параллелепипеду.

Глава 4

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

§1. Статика

§2.Закон Кулона; наложение сил

§З. Электрический потенциал

§4. E=-▽φ

§5.Поток поля Е

§6.Закон Гаусса; дивергенция поля Е

§7 .Поле заряженного шара

§8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности

Повторишь: гл.13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

§ 1. Статика