Feynmann 8

Пусть у нас была бы только частица а; тогда у нее была бы определенная амплитуда рас­сеяния в направлении 1, скажем <1|а>. А частица b сама по себе обладала бы амплитудой <2|b> того, что приземление произойдет в направлении 2. Если частицы не тождественны, то амплитуда того, что в одно и то же время произойдут оба рассеяния, равна попросту произведению

<1|а><2|b>. Вероятность же такого события тогда равна

|a><2|b>|² что также равняется

|<1|а>|²|<2|b>|². Чтобы сократить запись, мы иногда будем полагать

<1|а>=а₁, <2|b>=b₂.

Тогда вероятность двойного рассеяния есть

|a₁|²|b₂|².

Могло бы также случиться, что частица b рассеялась в на­правлении 1, а частица а —в направлении 2. Амплитуда та­кого процесса была бы равна

<2|а><1|b>, а вероятность такого события равна

|<2|а><1|b>|²=|a₂|²|b₁|².

Представим себе теперь, что имеется пара крошечных счет­чиков, которые ловят рассеянные частицы. Вероятность Р₂ того, что они засекут сразу обе частицы, равна просто

P₂=|a₁|²|b₂|²+|a2|²|b₁|². (2.3)

Положим теперь, что направления 1 и 2 очень близки. Бу­дем считать, что а с изменением направления меняется плавно, тогда а₁ и а₂ при сближении направлений 1 и 2 должны приближаться друг к другу. При достаточном сближении амплитуды а₁ и а₂ сравняются, и можно будет положить а₁=а₂ и обозна­чить каждую из них просто а; точно так же мы положим и b₁=b₂=b. Тогда получим

Р₂=2|а|²|b|². (2.4)

Теперь, однако, предположим, что а и b — тождественные бозе-частицы. Тогда процесс перехода а в состояние 1, а b в состояние 2 нельзя будет отличить от обменного процесса, в ко­тором b переходит в 2, а а — в 1. В этом случае амплитуды двух различных процессов могут интерферировать. Полная амплиту­да того, что в каждом из счетчиков появится по частице, равна

<1| а><2|b>+<2|а><1|b>, (2.5)

и вероятность того, что ими будет зарегистрирована пара, дается квадратом модуля этой амплитуды:

Р₂= |а₁b₂+a₂b₁|²=4|a|²|b|²(2.6)

Б итоге выясняется, что вдвое более вероятно обнаружить две идентичные бозе-частицы, рассеянные в одно и то же состоя­ние, по сравнению с расчетом, проводимым в предположении, что частицы различны.

Хотя мы считали, что частицы наблюдаются двумя разными счетчиками,— это несущественно. В этом можно убедиться следующим образом. Вообразим себе, что оба направления 1 и 2 привели бы частицы в один и тот же маленький счетчик, кото­рый находится на каком-то расстоянии. Мы определим направ­ление 1, говоря, что оно смотрит в элемент поверхности dS₁ счетчика. Направление же 2 смотрит в элемент поверхности dS₂ счетчика. (Считается, что счетчик представляет собой по­верхность, поперечную к линии рассеяния.) Теперь уже нельзя говорить о вероятности того, что частица направится точно в каком-то направлении или в определенную точку пространства. Это невозможно — шанс зарегистрировать любое фиксирован­ное направление равен нулю. Если уж нам хочется точности, то нужно так определить наши амплитуды, чтобы они давали ве­роятность попадания на единицу площади счетчика. Пусть у нас была бы только одна частица я; она бы имела определенную амплитуду рассеяния в направлении 1. Пусть<1|а>=a₁ определяется как амплитуда того, что а рассеется в единицу площади счетчика, расположенного в направлении 1. Иными словами, мы выбираем масштаб а₁ и говорим, что она «нормирована» так, что вероятность того, что а рассеется в элемент площади dS₁ равна

Если вся площадь нашего счетчика DS и мы заставим dS₁ странст­вовать по этой площади, то полная вероятность того, что ча­стица а рассеется в счетчик, будет

Как и прежде, мы хотим считать счетчик настолько малым, что амплитуда а₁ на его поверхности не очень меняется; зна­чит, а₁ будет постоянным числом, и мы обозначим его через а. Тогда вероятность того, что частица а рассеялась куда-то в счетчик, равна

Таким же способом мы придем к выводу, что частица b (когда она одна) рассеивается в элемент площади dS₂ с ве­роятностью

(Мы говорим dS₂, а не dS₁ в расчете на то, что позже ча­стицам а и b будет разрешено двигаться в разных направле­ниях.) Опять положим b₂ равным постоянной амплитуде b; тогда вероятность того, что частица b будет зарегистрирована счетчиком, равна

Когда же имеются две частицы, то вероятность рассеяния а в dS₁ и b в dS₂ будет

Если нам нужна вероятность того, что обе частицы (и а, и b) попали в счетчик, мы должны будем проинтегрировать dS₁ и dS₂ по всей площади DS; получится

Заметим, кстати, что это равно просто р_а·р_b в точности так, как если бы мы предположили, что частицы а и b действуют независимо друг от друга.