Feynmann 8

Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все это работает. Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со спином ¹/₂ через прибор Штерна — Герлаха, пропу­скающий только состояние (+z). Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии (+x)? Ось +х — это все равно, что ось +z' системы, повернутой на 90° вокруг оси у. Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, конечно, можно применить и полное уравнение (4.35). По­скольку С₊=1 и С_-=0, то получится С'₊=1/Ц2. Вероятности -это квадраты модулей этих амплитуд; таким образом, 50% шансов за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние (+х). Если бы мы поинтересовались состоянием (-х), то амплитуда оказалась бы -1/Ц2, что опять дало бы вероятность ¹/₂, чего и следовало ожидать из симметрии про­странства. Итак, если частица находится в состоянии (+z), то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях (+x) и (-х). Но фазы противоположны.

Ось у тоже без претензий. Частица в состоянии (+z) имеет равные шансы быть в состоянии (+у) или (-у). Но теперь (согласно формуле для поворота на -90° вокруг оси х) амплитуды суть l/Ц2 и -i/Ц2. В этом случае разница в фа­зах двух амплитуд уже не 180°, как было для (+х) и (-х), а 90°. В этом-то и проявляется различие между х и у.

Вот еще пример. Пусть нам известно, что частица со спином ¹/₂ находится в состоянии y, поляризованном вверх относи­тельно оси А, определяемой углами q и j (фиг. 4.10).

Фиг. 4.10. Ось А, определяе­мая полярными углами qи j.

Мы хо­тим знать амплитуду +|y> того, что частица относительно оси z окажется в состоянии «вверх», и амплитуду -|y> того, что она окажется в состоянии «вниз» относительно той же оси z. Эти амплитуды мы можем найти, вообразив, что А есть ось z' системы, у которой ось х' направлена произвольно, ска­жем лежит в плоскости, образованной А и z. Тогда можно перевести систему А в систему х, у, z тремя поворотами. Во-первых, надо сделать поворот на -p/2 вокруг оси A, что пере­ведет ось x в линию В на рисунке. Затем повернуть на — 0 вокруг линии В (вокруг новой оси х системы А), чтобы ось А попала на ось z. И, наконец, повернуть вокруг оси z на угол (p/2-j).

Вспоминая, что вначале было только одно состояние (+) по отношению к А, получаем

Мы хотели бы напоследок подытожить результаты этой главы в форме, которая окажется полезной для нашей даль­нейшей работы. Во-первых, напомним, что наш основной ре­зультат (4.35) может быть записан в других обозначениях. Заметьте, что (4.35)— это то же самое, что и (4.4) Иначе го­воря, в (4.35) коэффициенты при С₊=<+S|y> и C'_-= <-S|y> суть как раз амплитуды <jT|iS> в (4.4), амплитуды того, что частица в состоянии i по отношению к S окажется в состоя­нии j по отношению к Т (когда ориентация Т по отношению к S дается углами a, b и g). Мы их также называли R^TS_ji в выра­жении (4.6). (Чего-чего, а обозначений у нас хватало!) Например,— это коэффициент при С₊ в формуле для С_- , а именно isin(a/2)exp[i(b-g)/2]. Поэтому сводку наших ре­зультатов мы можем дать в виде табл. 4.1.

Было бы удобно иметь эти амплитуды расписанными для некоторых особо важных случаев. Пусть R_z(j) — поворот на угол j вокруг оси z. Так же можно обозначить и соответ­ствующую матрицу поворота (опуская молчаливо подразу­меваемые индексы i и j). В том же смысле R_x(j) и R_y(j) будут обозначать повороты на угол j вокруг оси х и оси у,

В табл. 4.2 мы приводим матрицы — таблицы амплитуд <jT|iS>, которые проецируют амплитуды из системы S в систему Т, где Т получается из S указанным поворотом.

* Нетрудно показать, что систему х, у, z можно перевести в систему х', у', z' следующими тремя поворотами вокруг первоначальных осей: 1) повернуть на угол g вокруг первоначальной оси z; 2) повернуть на угол а вокруг первоначальной оси х; 3) повернуть на угол b вокруг первоначальной оси z.

* Второе решение меняет все знаки у а, b, с, d и отвечает повороту на -270°.