Feynmann 9

Самым замечательным успехом в истории квантовой механики было объяснение всех дета­лей спектров простейших атомов, а также периодичностей, обнаруженных в таблице химических элементов. В этой главе в нашем курсе кванто­вой механики мы наконец-то подойдем к этому важнейшему достижению и расскажем об объ­яснении спектра атомов водорода. Кроме того, здесь мы расскажем и о качественном объясне­нии таинственных свойств химических элемен­тов. Для этого мы подробно изучим поведение электрона в атоме водорода: в первую очередь мы рассчитаем его распределения в простран­стве, следуя тем представлениям, которые были развиты в гл. 14.

Для полного описания атома водорода сле­довало бы учесть движения обеих частиц — как протона, так и электрона. В квантовой меха­нике в этой задаче следуют классической идее об описании движения каждой из частиц по отношению к их центру тяжести. Однако мы не будем этого делать. Мы просто используем приближение, в котором протон считается очень тяжелым, настолько тяжелым, что он как бы закреплен в центре атома.

Мы сделаем еще и другое приближение: забудем, что у электрона имеется спин и что его надлежит описывать законами релятивист­ской механики. Это потребует внесения неболь­ших поправок в наши выкладки, поскольку мы будем пользоваться нерелятивистским уравне­нием Шредингера и пренебрежем магнитными эффектами. Небольшие магнитные эффекты по­являются из-за того, что протон с точки зрения электрона есть циркулирующий по кругу заряд, который создает магнитное поле. В этом поле энергия элек­трона будет различна, смотря по тому, направлен ли его спин вверх или вниз по полю. Энергия атома должна немного сдви­нуться относительно той величины, которую мы вычислим. Но мы пренебрежем этим слабым сдвигом энергии, т. е. вообра­зим, что электрон в точности подобен волчку, движущемуся в пространстве по кругу и сохраняющему все время одинаковое направление спина. Поскольку речь будет идти о свободном атоме в пространстве, полный момент количества движения будет сохраняться. В нашем приближении будет считаться, что момент количества движения, вызываемый спином электро­на, остается неизменным, так что оставшийся момент количества движения атома (то, что обычно называют «орбитальным» момен­том количества движения) тоже не будет меняться. В очень хоро­шем приближении можно считать, что электрон движется в атоме водорода как частица без спина — его орбитальный момент ко­личества движения постоянен.

В этих приближениях амплитуда того, что электрон будет обнаружен в том или ином месте пространства, может быть пред­ставлена как функция положения электрона в пространстве и времени. Обозначим амплитуду того, что электрон будет обнаружен в точке х, у, z в момент t через y(x, у, z, t). Со­гласно квантовой механике, скорость изменения этой ампли­туды со временем дается гамильтоновым оператором, действую­щим на ту же функцию. Из гл. 14 мы знаем, что

где

Здесь m—масса электрона, а V (r)— потенциальная энергия электрона в лектростатическом поле протона. Считая на больших удалениях от протона V=0, можно написать

V=-e²/r.

Волновая функция y должна тогда удовлетворять уравнению

Мы хотим найти состояния с определенной энергией, по­этому попробуем поискать решения, которые бы имели вид

Тогда функция y(r) должна быть решением уравнения

где Е — некоторое постоянное число (энергия атома).

Раз потенциальная энергия зависит только от радиуса, то это уравнение лучше решать в полярных координатах.

Лапласиан в прямоугольных координатах определялся так:

Вместо этого мы хотим воспользоваться координатами r,q, j, изображенными на фиг. 17.1.

Фиг. 17.1. Сферические ко­ординаты r, q, j точки Р.

Они связаны с х, у, z форму­лами

х=rsinqcosj; у=rsinqsinj; z=rcosq.

Вас ждут довольно нудные алгебраические выкладки, но в конце концов вы должны будете прийти к тому, что для произвольной функции f(r) = f(r, q, j):

Итак, в полярных координатах уравнение, которому должна удовлетворять функция y(r, q, j), принимает вид

§ 2.Сферическисимметричные решения