Философия Науки. Хрестоматия

<...> пространственные формы можно рассматривать как частный вид количественных отношений, если этому последнему термину придать достаточно широкое толкование, так что с этой точки зрения включение в определение математики особого упоминания «пространственных форм» является лишь указанием на относительную самостоятельность геометрических отделов математики. Количественные отношения (в общем философском понимании этого термина) характеризуются, в отличие от качественных, лишь своим безразличным отношением к конкретной природе тех предметов, которые они связывают. Поэтому они и могут быть совершенно отделены от их содержания как от чего-то безразличного для дела <...>. Можно сказать, что количественные отношения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от которой они отвлечены, только то, что предусмотрено в их определении. Из этих общих свойств количественных отношений легко объясняются основные особенности математики как науки о такого рода отношениях. Ее по преимуществу дедуктивный характер объясняется тем, что все свойства чистых отношений должны содержаться в самом их определении. Широкая применимость каждой математической теории в различных по конкретному содержанию областях естествознания и техники объясняется тем, что математика изучает только отношения, безразличные к конкретной природе связываемых ими объектов. В создании методов, достаточно гибких, чтобы изучать весьма общие и разнообразные количественные отношения (в указанном выше широком понимании), и заключается принципиальная новизна современного периода развития математики. <...> (С. 62-63).

Вопросы обоснования математики.

Роль теории множеств и математической логики Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в XIX в. усиленное внимание к вопросам ее «обоснования», т.е. критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических приемов, употребляемых при этих доказательствах. Важность такого рода работы становится особенно понятной, если учесть то, что было выше сказано об изменившемся характере взаимоотношений между развитием математической теории и ее проверкой на практическом материале, доставляемом естествознанием и техникой. При построении обширных и иногда весьма абстрактных теорий, охватывающих, помимо тех частных случаев, которые привели к их созданию, огромный материал, получающий конкретные применения лишь в перспективе десятилетий, ждать непосредственных сигналов о недостаточной корректности теории в форме зарегистрированных ошибок уже нельзя. Вместо этого приходится обратиться ко всему накопленному опыту работы человеческой мысли, который как раз и суммируется в вырабатываемых постепенно наукой требованиях к «строгости» доказательств. В соответствии с этим работы по строгому обоснованию тех или иных отделов математики справедливо занимают значительное место в математике XIX и XX веков. В применении к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приемов дифференциального и интегрального исследования) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большинстве учебников (даже чисто практического характера). Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практических потребностей математической теории запаздывает. Так в течение долгого времени уже на рубеже XIX и XX вв. было с операционным исчислением, получившим весьма широкие применения в механике и электротехнике. Лишь с большим запозданием было построено логически безупречное изложение математической теории вероятностей. И в настоящее время еще отсутствует строгое обоснование многих математических методов, широко применяемых в современной теоретической физике, где много ценных результатов получается при помощи незаконных математических приемов, дающих, например, иногда правильный ответ лишь «с точностью» до заведомо ошибочного множителя, поправляемого из посторонних данному «математическому выводу» соображений, или при помощи отбрасывания в сумме слагаемых, обращающихся в бесконечность и т.п.