Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила

Форму траектории движения тела можно проанализировать с помощью геометрии или алгебры.

Геометрический анализ. Предположим, что в горизонтальном направлении брошен камень. Камень проходит в своем горизонтальном движении одинаковые расстояния по горизонтали за каждую секунду, совершая в то же время ускоренное движение в вертикальном направлении. Падая, он пролетает по вертикали 4,9 м за первую секунду после начала движения, 19,6 м за первые 2 сек, 43,9 м за первые 3 сек и т. д. Нанесите на масштабную сетку положения камня в различные моменты времени. Выберите промежутки времени от начала движения, которые находятся в пропорции 1:2:3:4…. За эти промежутки времени камень в своем равномерном горизонтальном движении проходит расстояния по горизонтали, которые находятся в той же пропорции 1:2:3:4…

Однако камень, падая, проходит по вертикали расстояния, пропорциональные квадратам этих чисел, т. е. 1, 4, 9, 16…, поскольку

РАССТОЯНИЕ ПО ВЕРТИКАЛИ = ¹/₂∙g∙(ВРЕМЯ)²

а значения величины (время)² находятся в пропорции 1:4:9…

Отметьте положение камня в эти равноотстоящие друг от друга моменты времени, проведя вертикальные прямые через равные интервалы, скажем через 2 см; проведите также горизонтальные прямые на расстоянии 1 см вниз до исходного уровня, 4 см, 9 см и т. д., чтобы отметить расстояния по вертикали, пройденные камнем в падении. Тогда предсказанная траектория движения будет отмечена пересечениями вертикальных и горизонтальных прямых, как показано на фиг. 57. Это можно продемонстрировать, бросая шарики или выпуская водяные капли перед доской, на которой проведены такие прямые.

Фиг. 57.Сложение горизонтального и вертикального движений тела.

_{а — горизонтальное движение (не меняется); б — вертикальное движение с ускорением силы тяжести (свободное падение); в — сложное движение.}

Задача 16

Предположим, что опыт убедил нас в том, что движение тел действительно происходит по кривой, проходящей через отмеченные на сетке точки. В какой мере это убеждает нас в правильности представлений о движении в природе? В подобном опыте начальную горизонтальную скорость, сообщаемую телу, нужно выбрать так, чтобы траектория проходила по отметкам (фиг. 58, а). Предположим, мы уменьшили скорость и отметили на доске новую траекторию движения. Каким образом можно проверить, совершает ли тело такое же движение, что и прежде (фиг. 58, б)?

Фиг. 58.К задаче 16.

Алгебраический- анализ. Начертите на разграфленной бумаге с координатами х и у воображаемую траекторию летящего камня и найдите ее уравнение. Предположим, что камень брошен горизонтально из начала координат (0, 0) со скоростью 5 м/сек. Тогда за каждую секунду камень перемещается в горизонтальном направлении на 5 м. По прошествии t сек после начала движения камень переместится в горизонтальном направлении на 5t м, поэтому можно записать

РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ, х = 5∙t м.

Через t сек камень, падая из состояния покоя, пройдет по вертикали расстояние у, определяемое формулой

РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ ПО ВЕРТИКАЛИ, y = ¹/₂ УСКОРЕНИЕ t² = ¹/₂ (9,8)∙t² = 4,9∙t² м

Эти формулы справедливы для любой стадии движения камня по его криволинейной траектории, поэтому мы можем записать

x = 5∙t

y = 4,9∙t²

Чтобы найти одно уравнение, описывающее траекторию движения, зададим себе вопрос: «Какое соотношение между х и у обеспечивает выполнение обоих приведенных выше требований на каждом этапе движения камня?» Для любой произвольно выбранной точки на траектории значения ее координат х и у должны удовлетворять обоим приведенным выше уравнениям для соответствующего значения t. Это значение t должно быть одинаковым в обоих уравнениях — ведь это время, когда камень достигает выбранной точки.

Поэтому мы можем избавиться от t, выразив из одного уравнения t и подставив полученное выражение в другое уравнение. Проделаем это.

Уравнение x = 5∙t дает t = x/5; подставляя выражение х/5 вместо t в уравнение y = 4,9∙t², получаем у = 4,9∙(х/5)², или у = (4,9/25)∙x².

Уравнение траекторий движения камня будет тогда иметь вид у = 0,196∙x².

В более общем случае, если камень брошен горизонтально с начальной скоростью v_гор м/сек и падает с вертикальным ускорением g м/сек на сек, то

x = v_горt и y = ¹/₂ gt²

Следовательно,