Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия

_{Допустим что событие Р произошло вначале координат, в точке «здесь, сейчас», а другое событие — в точке Q. Если Q находится внутри верхнего светового конуса (Q1), оно явно находится в будущем для всех наблюдателей. Аналогично всякое событие внутри нижнего светового конуса (Q2) находится в абсолютном прошлом, для всех наблюдателей Q2, происходит раньше Р. Но Q3 в пространстве между конусами может быть будущим для ε и тем не менее прошлым для наблюдателя ε', так как его ось наклонна. Поэтому мы называем такую промежуточную область «абсолютным где-то». Если Q попадет туда, ни Р, ни Q не могут быть причиной друг друга, они просто происходят в разных местах.}

Фиг. 169.Диаграммы пространства (в одном измерении) и времени.

_{а — некое событие, происходящее на прямой линии (оси х), изображено точкой. Расстояние вдоль оси х показывает, где произошло событие, а высота показывает, когда оно произошло. Событие Р предшествует по времени событию Q. Для некоторой пары событий можно утверждать, что Р является причиной Q;}

_{б — для движущегося наблюдателя начало отсчета переносится вместе с ним. В галилеевой системе он пользуется тем же масштабом времени, что и неподвижный наблюдатель.}

_{в — при преобразованиях Галилея лилии каждого часа для двух наблюдателей одни и те же и параллельны линии t = 0;}

_{г — преобразования Лоренца поворачивают оси одной координатной системы пространства-времени по отношению к другой (хотя и на пренебрежимо малый угол, за исключением случаев, когда относительная скорость ε и ε' приближается к c).}

Спроектируем точку на оси х и у (фиг. 470).

Повернем теперь оси на угол A (вокруг оси z). По отношению к новым осям координаты точки будут x', у'. Обозначим символом s наклон новой оси х, так что s = tg А. Теперь видно, что

x' = (x + b)∙cos A = (x + y∙tg A)∙cos A =

= (x + sy)/sec A = (x + sy)/√(1 + tg² A),

т. е.

x' = (x + sy)/√(1 + s²)

Подобным же образом

y' = (y — sx)/√(1 + s²)

Преобразования при простом вращении осей показывают, что квадратный корень играет здесь ту же роль, что и в преобразованиях Лоренца. Действительно, мы получим лоренцеву форму преобразований, если вместо у возьмем t, умноженное на постоянную с и на i [квадратный корень из (—1)], а вместо наклона s возьмем i(v/c). Если y = ict, y' = ict', a s = iv/c, то преобразования вращения превратятся в преобразования Лоренца. Проверьте это. Отсюда видно, что преобразования Лоренца можно рассматривать как расслоение пространства-времени линиями разного наклона для разных наблюдателей.

Инвариантный «интервал» между двумя событиями

Определим «интервал» между двумя событиями (x₁, t₁) и (x₂, t₂) по теореме Пифагора:

R² = (x₁ — x₂)² + (ict₁ — ict₂)²

Затем можно записать выражение для «интервала» R' для другого наблюдателя, который в своих координатах связывает те же два события в точках (x'₁, t'₁) и (x'₂, t'₂). Воспользуемся преобразованиями Лоренца и выразим R' через координаты первого наблюдателя. Тогда мы обнаружим, что R' совпадает с R. Преобразования Лоренца оставляют «интервал» неизменным. Это и составляет утверждение теории относительности — измерения с всегда дают одну и ту же ее величину.