Физика повседневности. От мыльных пузырей до квантовых технологий

Волчок и момент вращения

Быстро вращающийся вокруг оси волчок не падает, если эта ось близка к вертикали. Как объяснить это явление?

Для простоты изучим движение волчка, имеющего форму поверхности вращения, а также предположим, что точка контакта C между волчком и опорой фиксирована (в случае китайского волчка или яйца это не так).

Характер движения волчка может быть определен на основании закона сохранения его момента импульса, или, как его еще называют, момента вращения. Этот закон для вращательного движения играет ту же роль, что и закон сохранения импульса для поступательного движения. Момент вращения L^→ – величина векторная. Этот вектор определяется распределением массы в объеме объекта, угловой скоростью его вращения, а также осью, относительно которой он вращается. Например, момент вращения крутящегося велосипедного колеса представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости колеса, модуль которого пропорционален угловой скорости вращения. В частности, если волчок представляет собой набор материальных точек с массами m_i, положение которых определяется относительно точки контакта векторами R_i, а их линейные скорости суть v_i, то его момент импульса L^→ представляет собой сумму векторных произведений m_iR^→_i × V^→ (см. главу 4, «Смысл силы Кориолиса и векторное произведение»).

Можно показать, что если сумма моментов, воздействующих на систему внешних сил, равна нулю, то ее момент вращения остается постоянным. В случае вращающегося волчка и в отсутствии трения постоянными остаются две составляющие вектора: вертикальная и направленная вдоль оси его вращения. Если мы запустим волчок таким образом, чтобы его ось вращения совпадала с вертикалью, то и вектор его момента импульса L^→ также будет направлен по вертикали. Если же ось вращения отклоняется от вертикали, то проекции вектора L^→ на эти два направления остаются постоянными, что подразумевает увеличение модуля L^→, а значит, и увеличение скорости вращения, и как следствие – увеличение кинетической энергии. Если волчок вращается медленно, то это увеличение достаточно мало и может быть скомпенсировано уменьшением потенциальной энергии, возникающим в результате понижения центра тяжести. В этом случае волчок падает. Но если волчок вращается достаточно быстро, то такая компенсация произойти не может, и, поскольку общая энергия увеличиться не может, волчок просто остается в вертикальном положении.

Какова же минимальная скорость вращения, ниже которой вращающийся волчок становится неустойчивым и падает? Оказывается, что она равна где g – ускорение свободного падения и l – расстояние от точки C до центра тяжести волчка. Коэффициент α зависит от его формы: он меньше для сплющенного волчка и больше для удлиненного. Таким образом, вращение сплющенного волчка является более устойчивым.