Физика пространства - времени

Из первого предположения следует условие a+b=e+f, из второго — условие b-a=e-f, а третье предположение даёт _r=b/f. В совокупности из полученных трёх условий найдём f/a=1, b/a=e/a=_r. Подставляя эти значения коэффициентов в исходные формулы для x и t, запишите условие инвариантности интервала. Отсюда следует a=(1-_r^2)^1^/^2. Полученные формулы преобразования совпадают с (16).

17. Собственная длина и собственное время

а) Направьте ось x' вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте предположение, что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят одновременно. Тогда преобразование Лоренца даёт

t'

=

0

=-

x

sh

_r

+

t

ch

_r

,

откуда

sh _r

ch _r

=

th

_r

=

_r

=

t

x

1.

Так как отношение t/x меньше единицы, относительная скорость наших систем также меньше единицы, что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Из факта инвариантности интервала следует

(

x)^2

-

(

t)^2

=

(

x')^2

-

0^2

=

(

)^2

,

так что расстояние между событиями в системе отсчёта ракеты равно собственному расстоянию между этими событиями.

б) Снова направьте ось x вдоль линии, соединяющей рассматриваемые события в лабораторной системе отсчёта. Сделайте теперь предположение. что существует такая система отсчёта ракеты, в которой оба события происходят в одном и том же месте. Тогда

x'

=

0

=

x

ch

_r

-

t

sh

_r

,

откуда

th

_r

=

_r

=

x

t

1,

что подтверждает правильность предположения о существовании данной системы отсчёта ракеты. Заметьте, что отношение x/t есть просто та скорость, какой должен обладать в лабораторной системе наблюдатель на ракете, переносящийся от события к событию. Часть а) этого упражнения не содержит такой возможности. Из факта инвариантности интервала следует

(

t)^2

-

(

x)^2

=

(

t')^2

-

0^2

=

(

)^2

,

так что промежуток времени между этими событиями в данной системе отсчёта ракеты равен интервалу собственного времени между ними.

18. Плоскость обоюдного согласия

Эту задачу можно решить двумя способами: во-первых, путём краткого рассуждения и, во-вторых, путём длинных математических преобразований (!). Рассуждения сводятся к следующему. Плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают, должна быть перпендикулярна направлению относительного движения этих систем отсчёта, так как видеть сразу и лабораторные, и ракетные часы синхронизированными друг с другом можно лишь в такой плоскости [см. часть б) упражнения 11]. Однако лабораторная система отсчёта и система ракеты во всех отношениях взаимно равнозначны. Поэтому скорость «плоскости согласия» должна быть одинакова как с точки зрения системы отсчёта ракеты, так и с точки зрения лабораторной системы (разным может быть лишь её направление). Какая промежуточная скорость будет сохранять своё численное значение при переходе от первой системы отсчёта ко второй? Во всяком случае, не /2. Предмет, движущийся в лабораторной системе со скоростью /2, будет обладать в системе отсчёта ракеты скоростью, не равной - /2 (ведь скорости не просто складываются). Однако предмет, движущийся в лабораторной системе так, что его параметр скорости равен _r/2, будет обладать в системе отсчёта ракеты параметром скорости - _r/2 (параметры скорости аддитивны). Поэтому скорость движения «плоскости согласия» должна быть равна в лабораторной системе отсчёта =th 1/2 _r, если, конечно, такая плоскость существует.

Математические преобразования, дающие тот же результат, состоят в следующем. Положите в преобразованиях Лоренца (36) t=t'. Исключите затем из них x и найдите, чему равно отношение x/t — скорость движения плоскости, на которой времена одинаковы. Вы получите (см. табл. 8):

2

sh^2

_r

x

=

ch

_r

-1

=

2

=

th

_r

.

t

sh

_r

2

sh

_r

sh

_r

2

2

2

19. Преобразование углов

Обозначим через x' проекцию метрового стержня на ось x' в системе отсчёта ракеты, а через y' — аналогичную проекцию на ось y'. Значит, тангенс угла ' равен tg '=x'/y'. В лабораторной системе отсчёта y-проекция будет оставаться равной прежней y-проекции в системе ракеты, но xпроекция подвергнется лоренцеву сокращению, согласно выводам упражнения 9. Мы получим

y

=

y'

,

где

y

=

(1

м

)

sin '

,

и

x

=

x'

1-

_r

^2

,

где

x'

=

(1

м

)

cos '

,

Отсюда легко вычислить величину тангенса искомого угла в лабораторной системе отсчёта

tg

=

y

x

=

tg '

1-_r^2

.

Длина метрового стержня, измеренная в лабораторной системе отсчёта, равна

L

=

(

x)^2+(

y)^2

.

Подставляя сюда полученные выше значения x и y, найдём

L

=

1-

_r

^2

cos^2'

м

.

Рис. 142. Электрические силовые линии заряженной частицы в системе отсчёта ракеты.

Рис. 143. Электрические силовые линии заряженной частицы в лабораторной системе отсчёта.