Физика пространства - времени

30. Конструкция часов и замедление их хода

В основе всех рассуждений лежит допущение, что невозможно определить абсолютную скорость движения инерциальной системы отсчёта исходя из вида физических законов, записанных в этой системе, и из входящих в них численных значений констант. Принцип работы любых реальных часов использует скорость протекания тех или иных физических процессов. Возьмём в одной инерциальной системе покоящиеся часы различных конструкций и сравним их ход; затем проделаем это для такого же набора часов, покоящихся в другой инерциальной системе. Если относительный ход часов разных конструкций будет меняться от одной инерциальной системы к другой, то это позволило бы найти абсолютное различие между разными инерциальными системами. Такое неодинаковое поведение разных физических процессов при переходах между системами отсчёта противоречило бы принципу относительности, и поэтому мы должны признать, что это невозможно. Взяв в исходной инерциальной системе часы, прокалиброванные в метрах светового времени, и осторожно ускорив их так, чтобы они в конце концов стали покоиться в другой инерциальной системе отсчёта, движущейся равномерно и прямолинейно относительно первой, мы (как следует предположить) получим в этой второй системе часы, правильно прокалиброванные в метрах светового времени.

31. Инерциальные системы отсчёта, связанные с Землёй

а) Путь по вертикали z, пройденный за время t_сек при свободном падении первоначально покоившейся частицей, находится из формулы

z

=

1

2

gt

_сек

^2

Здесь g10 м/сек^2 —«гравитационное ускорение» (ускорение силы тяжести) вблизи поверхности Земли. В нашем случае время падения лишь немного превышает 1 метр светового времени, т.е. около 3,3·10 сек. Отсюда

z

10

2

·

(3,3·10)^2

5·10^1

м

.

Это на два порядка меньше размеров атомного ядра! Итак, пространственно-временная область размерами (1 м x 1 м x 1 м пространстве) x 1 м во времени является инерциальной с точностью до 5·10^1 м. Пусть, например, пройденное при падении расстояние измеряется интерференционными методами при помощи видимого света. Тогда минимальное обнаружимое смещение при падении примерно равно длине световой волны — около 5000 A (5·10 м). Чтобы частица при своём падении пролетела такой путь, требуется

(Путь)·2

g

1/2

=

3·10

сек

=

=

10

м

светового времени.

За такой срок частица, летящая с околосветовой скоростью, прошла бы в искровой камере приблизительно L=10 м =100 км!

б) За 22 м светового времени (т.е. 73·10 сек =73 нсек) частица пройдёт при падении из состояния покоя путь z, приблизительно равный

z

=

10

2

·

(73·10)^2

2,5·10^1

м

,

что примерно втрое превышает диаметр нуклона. С такой точностью является инерциальной связанная с Землёй система отсчёта в опыте Майкельсона — Морли.

32. Размеры инерциальной системы

a1) На рис. 46 являются подобными два треугольника с острым углом соответственно при вершинах в точке B и в центре Земли. Меньшая сторона первого из них равна /2, а второго 25/2 м. Записывая формулу пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников, получим

/2

250 м

=

(25 м)/2

6,4·10 м

,

откуда 10^3 м, что и следовало доказать.

а2) Замените на рис. 46 пометку «25 м» на x, а r_e - на r. Пусть ускорение, действующее по направлению от точки B к центру Земли, равно a*. Тогда проекция этого ускорения на ось x, параллельную поверхности Земли, составляет a* sin . Относительное ускорение (a^x)* двух частиц (первая падает из точки B, а вторая - из A) вдвое превышает эту величину и имеет обратный ей знак:

(

a

^x

)*

=-

2a*

sin

.

Из правого треугольника, острый угол которого помещён в центре Земли, найдём

sin

=

x

2r

,

так что окончательно

(

a

^x

)*

=-

2a*

x

2r

=-

x

r

a*

,

что и требовалось получить.

б1) Воспользуемся данным в тексте советом; тогда

a*

r

=

const

r^2

;

a*

r+z

=

const

(r+z)^2

=

const

r^2

1+

z

r

^2

=

=

const

r^2

1-2

z

r

+3

z

r

^2

-

…

,

где взята формула бинома Ньютона. Учтём, что z много меньше, чем r, и пренебрежём поэтому всеми членами разложения, за исключением первых двух. Вычитая теперь величину a* в точке r из a* в точке r+z, получим

a*

-

2

a*

r

z

.

Знак «минус» означает, что ускорение будет тем меньше, чем больше высота. Две частицы, начавшие падение из состояния покоя в точках, лежащих одна над другой (на одной вертикали), подвергаются действию относительного ускорения, и расстояние между ними будет возрастать. Такое относительное ускорение (a^z)* положительно и по абсолютной величине равно a*:

(

a

^z

)*

+

2

a*

r

z

.

что и требовалось доказать.