Физика пространства - времени

Сосредоточим теперь наше внимание на самих координатах как характеристике расположения события E относительно начала O. Мы сделаем это, заранее признавая, что они зависят от выбора системы отсчёта. В этом отношении положение координат гораздо менее универсально, чем положение инвариантного интервала как меры взаимного разделения событий. Пусть так. Физика должна приладиться к тому, что есть в мире. Описывать удалённость событий друг от друга следует тем методом, который лучше соответствует обстоятельствам. Бывает, что торпедному катеру полезнее указать, что расстояние между носом и кормой атакуемого судна 50 м. Но в другом случае может быть, что ему гораздо важнее указать, что положение носа судна относительно кормы 40 м к северу и 30 м к востоку. В той задаче, которая нас занимает, нам не интересно, что мировая точка распада -мезона отстоит от мировой точки его образования на величину инвариантного интервала , равную около 10 сек. Нам нужно охарактеризовать удалённость этих событий друг от друга самими координатами x и t.

а) Диаграмма пространства-времени лабораторной системы отсчёта.

б) Диаграмма пространства-времени системы отсчёта ракеты.

Рис. 25. Координаты точек рождения (точка O) и распада (точка E) -мезона, изображённые на диаграммах пространства-времени лабораторной системы и системы отсчёта ракеты.

Преобразование Лоренца для координат

Как бы сильно ни различались координаты (x',t') события E в системе отсчёта ракеты от его координат (x,t) в лабораторной системе, эти два набора координат связаны друг с другом вполне определённым и простым законом. Этот закон выражается через преобразование Лоренца

x

=

x'

1-_r^2

+

_rt'

1-_r^2

,

t

=

_rx'

1-_r^2

+

t'

1-_r^2

,

(16)

где _r— скорость системы отсчёта ракеты относительно лабораторной системы отсчёта. Ввиду выполнения этого закона говорят, что координаты обеспечивают ковариантное описание взаимной удалённости событий в пространстве-времени в противоположность инвариантному описанию этой удалённости, обеспечиваемому интервалом. Корень «вари» в слове ковариантный»

Определение понятия «ковариантность»

указывает, что координаты изменяются (варьируют) при переходах от одной системы отсчёта к другой. Приставка «ко» означает, что преобразование координат всех событий производится по одному и тому же закону (координированно). Итак, для разных событий различны как координаты x' и t', так и координаты x и t, но четвёрка коэффициентов

1-

_r

^2

- 1/2

,

_r

·

1-

_r

^2

- 1/2

,

_r

·

1-

_r

^2

- 1/2

,

1-

_r

^2

- 1/2

,

связывающая эти два набора координат, обладает значениями, не зависящими от того, какое событие рассматривается.

В этом разделе мы будем обсуждать вывод формул преобразования Лоренца, их использование и их сходство с известными формулами преобразований эвклидовой геометрии, иллюстрируемыми на примере притчи о землемерах.

Три принципа, на которых основано преобразование Лоренца

Вывод преобразования Лоренца основывается на трех принципах, которые мы уже можем сформулировать:

1) Коэффициенты преобразования не должны зависеть от того, какое событие рассматривается («ковариантность преобразования»).

2) Выбор коэффициентов преобразования должен соответствовать тому, что точка, фиксированная в системе отсчета ракеты, движется в лабораторной системе отсчета со скоростью _r в положительном направлении оси x.

3) Коэффициенты преобразования должны быть такими, чтобы любой интервал имел одно и то же значение в лабораторной системе и в системе отсчета ракеты.

Эти три принципа легко применить к случаю распада -мезона. В лабораторной системе отсчета это событие имеет координаты (x,t) относительно события — рождения мезона, и эти координаты должны быть выражены через скорость _r системы отсчета ракеты, в которой -мезон покоится. Эту скорость непосредственно даёт отношение координат x и t,

x

t

=

_r

,

так что

x

=

_r

t

,

или

x^2

=

_r

^2

·

t^2

.

(17)

Первый этап вывода преобразования Лоренца

Временноподобный интервал, образованный x и t, определяется временем жизни -мезона в системе отсчёта ракеты (где мезон покоится в точке x'=0):

t^2-x^2

=

t'^2-x'^2

=

t'^2-0

=

^2

.

Подставим в эту формулу _r^2t^2 вместо x^2 на основании уравнения (17). Получим

t^2

-

_r

^2t^2

=

t'^2

=

^2

,

или

t^2

=

t^2

1-_r^2

=

^2

1-_r^2

,

или

t

=

t'

1-_r^2

=

1-_r^2

.

(Численный пример: положим _r=^1^2/ скорости света; тогда 1-_r^2=1-^1/=^2/ и (1-^2)^1^/^2=^1^3/=2,6. Следовательно, время жизни -мезона, измеренное в лаборатории, в 2,6 раза длиннее «собственного времени жизни», т.е. оно в 2,6 раза длиннее, чем время жизни, измеренное в системе отсчёта, связанной с самим мезоном). Расстояние, пройденное -мезоном, равно времени движения, умноженному на скорость, так что

x

=

_r

t

=

_rt'

1-_r^2

.

Решение задачи о -мезоне