Физика пространства - времени

Всё ли исчерпано? Мы выяснили, как перейти от компонент взаимной удалённости событий, известных в одной системе отсчёта, к аналогичным компонентам в другой системе отсчёта. Короче, мы записали ковариантный закон, связывающий компоненты в разных системах, как для преобразования Лоренца («преобразование в плоскости x, t), так и для поворота («преобразование в плоскости x, t). В первом случае формулы содержат параметр _r (относительную скорость систем), а во втором — параметр S_r (относительный наклон осей). Однако ни один из этих параметров не позволяет ещё получить самое простое описание взаимоотношения рассматриваемых систем координат. Было бы желательно заменить как _r, так и S_r более естественными параметрами. Оказывается, найти такой более удобный способ описания движения и поворота систем можно. Лучшей характеристикой поворота является угол. Аналогично самой удобной характеристикой движения систем вместо скорости является некоторый параметр скорости , который ещё должен быть найден. Лучше всего можно понять смысл и значение этого параметра скорости при описании относительного движения систем отсчёта, если сначала выяснить, почему угол — более удобный параметр, чем наклон при описании поворота.

Ответ таков: потому что углы аддитивны, а наклоны — нет. Что означает это утверждение? Взглянем на рис. 26. Вектор OA имеет наклон относительно оси y'. Этот наклон можно описать величиной S' (отношением числа единиц длины в направлении оси x, приходящегося на единицу расстояния в направлении оси y'). В данном случае мы имеем

S'

=

2

9

.

Вместе с тем вектор OA имеет наклон к оси y, равный

S

=

7

6

,

а ось y' в свою очередь обладает относительно оси y наклоном

S

_r

=

3

4

.

Вопрос: выполняется ли следующий закон для наклонов:

Наклон OA

относительно

оси y

=

Наклон OA

относительно

оси y'

+

Наклон y'

относительно

оси y

?

Наклоны в эвклидовой геометрии не аддитивны

Проверка («экспериментальная математика»):

7

6

=

2

9

+

3

4

?

42

36

=

8

36

+

27

36

?

42

=

8

+

27

=

35

?!

Неверно!

Вывод: наклоны не аддитивны! Вопрос: раз наклоны не аддитивны, т.е. S не равняется сумме S' и S_r, то как же найти правильно наклон S из наклонов S' и S_r? Ответ:

(по определению наклона)

Наклон OA

относительно

оси y

=

S

=

x

y

=

[из (19)]

=

(1+S_r^2)^1^/^2x'+S_r·(1+S_r^2)^1^/^2y'

-S_r(1+S_r^2)^1^/^2x'+(1+S_r^2)^1^/^2y'

=

[сокращение числителя и

знаменателя на

(1+S

_r

^2)^1

^/

^2

]

=

x'+S_ry'

-S_rx'+y'

=

(деление числителя и знаменателя на

y'

)

=

(x'/y')+S_r

-S_r(x'/y')+1

.

Окончательный вывод:

S

=

S'+S_r

1-S'S_r

.

(20)

Иными словами, наклоны S' и S_r могут считаться аддитивными, лишь если произведением S'•S_r стоящим в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с единицей.

Аддитивны углы наклона

Рис. 28. Угол — удобная мера наклона оси y' относительно оси y. Удобство здесь в том. что углы подчиняются простому правилу сложения: ='+_r.

Так как наклоны не аддитивны, а значит, неудобны для описания относительного поворота двух систем координат, то как же выбрать лучшую характеристику этого поворота? Ответ: взять угол между осями y и y'. Почему? Потому что углы подчиняются простому закону сложения (рис. 28):

Угол между

OA и осью y

=

Угол между

OA и осью y'

+

Угол между

осями y' и y

,

или

=

'

+

_r

.

(21)

Благодаря выполнению этого соотношения угол является простейшей характеристикой наклона.

Как связаны между собой новая и старая характеристики наклона — угол и наклон S_r оси y' относительно оси y? Ответ:

S

_r

=

tg

_r

(22)

(по тригонометрическому определению функции тангенса; см. рис. 29).

Рис. 29. Связь между взаимным наклоном S_r осей y' и y двух эвклидовых систем координат и углом _r между этими осями.

Закон сложения величин наклона в эвклидовой геометрии

Вопрос: как можно расшифровать закон сложения величин наклона, если исходить из того, что эти величины суть тангенсы углов? Ответ:

tg

=

tg ('+

_r

)

=

аддитивность

углов

=

tg '+tg _r

1-tg '•tg _r

,

(тригонометрия)

(23)

или

S

=

S'+S_r

1-S'•S_r

•

тангенсы заменены

на величины наклонов

Сравнивая сложный закон сложения тангенсов (величин наклона) с простым законом сложения углов (='+_r), мы убеждаемся в том, что угол — простейшая характеристика поворота.

Закон сложения скоростей

Рис. 30. Мировая линия пули, изображённая на диаграмме пространства-времени системы отсчёта ракеты. Пуля была выпущена вперёд по движению ракеты со скоростью '=x'/t' в системе отсчёта ракеты.

Что же будет простейшей характеристикой движения? Во всяком случае, не сама скорость, так как она не подчиняется простому закону сложения. Определим этот закон сложения скоростей. Пусть в системе отсчёта ракеты будет в направлении вперёд по её движению выстрелена пуля со скоростью ' в этой системе (рис. 30):

'

=

Число метров,

пройденных в

направлении оси x'

за каждый

Метр времени t',

прошедший

по часам

на ракете

=

x'

t'

.