Физика пространства - времени

5 •2 +

3

5 •9 ,  6 =-

3

5 •2 +

4

5 •9 ,

Приведённые здесь конкретные численные значения коэффициентов в законе преобразования связаны с тем конкретным поворотом, который изображён на чертеже.

В притче о землемерах студент сделал, как теперь обнаруживается, лишь полдела. Он выяснил, как должен каждый землемер переводить свои результаты на универсальный язык расстояний:

(Расстояние)

^2

=

(

x)^2

+

(

y)^2

=

=

(

x')^2

+

(

y')^2

.

Однако он не сформулировал того словаря, который необходим для перевода с дневного на ночной язык и обратно величин компонент. Конечно, выводы студента были ценными, но ведь случается же, когда дневной землемер должен знать не только величину расстояния OA, но и конкретные координаты (x,y) этого отрезка. При этом может оказаться, что по воле судеб ему недоступно прямое измерение этих компонент. Тогда в его распоряжении будут лишь данные о компонентах (x',y'), полученные при измерении OA его коллегой — ночным землемером. Как же ему перевести имеющиеся в его распоряжении числа (x',y') на его «язык» и получить требуемые (x,y)? Каким должен быть словарь? И что должен он знать, чтобы быть в состоянии этот словарь составить? Вот ответ.

Эвклидово преобразование поворота координатных осей

Подобно тому, как для построения формул преобразования Лоренца, переводящих (x',y') в (x,y), необходимо знать относительную скорость движения двух систем отсчёта _r, для перевода компонент (x',y') в (x,y) требуется знать величину наклона S_r прямой Oy' относительно прямой Oy. В примере, изображённом на рис. 26, наклон оси Oy' к оси Oy равен S_r=^3/. Это значит, что при перемещении вверх по оси y на 4 единицы необходимо сдвинуться от неё вправо на 3 единицы, чтобы оказаться на оси y'. Если выразить через величину наклона S_r формулу преобразования поворота, мы получим

x

=

x'

1+S_r^2

+

S_ry'

1+S_r^2

,

y

=-

S_rx'

1+S_r^2

+

y'

1+S_r^2

.

(19)

Доказательство.

Рис. 27. Представление произвольного вектора как геометрической суммы двух векторов, направленных соответственно вдоль осей y' и x'. Это представление использовано при выводе уравнений (19) закона преобразования поворота (см. текст).

1. Произвольный вектор (x',y') может рассматриваться (см. рис. 27) как сумма вектора (x',0), направленного вдоль оси x', и вектора (0,y'), направленного вдоль оси y'. Для общего доказательства справедливости формул (19) достаточно удостовериться в том, что они верны по отдельности для этих двух векторов.

2. Вектор, направленный вдоль оси y' и имеющий длину y' обладает относительно осей x и y компонентами, относящимися друг к другу как S_r по определению «наклона». Итак,

x

y

=

S

_r

,

или

x

y

^2

=

S

_r

^2

,

или

(

x)^2

=

S

_r

^2

·

(

y)^2

.

3. Расстояние от начала координат до конца вектора имеет одну и ту же величину в обеих системах координат:

(

x)^2

+

(

y)^2

=

(

x')^2

+

(

y')^2

,

или

S

_r

^2

(

y)^2

+

(

y)^2

=

0

+

(

y')^2

,

или

(

y)^2

=

(y')^2

1+S_r^2

,

или, наконец,

y

=

y'

1+S_r^2

,

так что

x

=

S

_r

y

=

S_ry'

1+S_r^2

.

Сравнивая эти результаты с формулами преобразования поворота (19), мы убеждаемся в правильности коэффициентов при y'.

4. Аналогично рассмотрим вектор, направленный вдоль оси x' и имеющий компоненты (x',0). Его компоненты вдоль осей y и x находятся друг к другу в отношении

y

x

=-

S

_r

.

Это равенство вместе с фактом инвариантности длины

(

x)^2

+

(

y)^2

=

(

x')^2

+

0

приводит в ходе рассуждений, аналогичных предыдущим, к соотношениям

x

=

x'

1+S_r^2

,

y

=-

S_rx'

1+S_r^2

.

Тем самым мы проверили остальные два коэффициента в формулах (19) эвклидова преобразования поворота.

Относительный наклон осей S_r в геометрии Эвклида аналогичен относительной скорости _r в геометрии Лоренца

Подводя итоги, можно сказать, что ковариантное преобразование в геометрии Эвклида от (x',y') к (x,y) с очевидностью аналогично преобразованию от (x',t') к (x,t) в лоренцевой геометрии реального физического мира. Величина наклона S_r осей одной системы координат относительно соответствующих осей другой системы аналогична скорости _r одной инерциальной системы отсчёта относительно другой. Отношения катетов прямоугольного треугольника к его гипотенузе в эвклидовой геометрии

1

1+S_r^2

и

S_r

1+S_r^2

заменяются в лоренцевой геометрии выражениями

1

1-_r^2

и

_r

1-_r^2

.

Противоположны лишь знаки при S_r и _r в знаменателях этих выражений. Знак «минус» в лоренцевой геометрии связан с минусом в выражении для квадрата интервала.

9. ПАРАМЕТР СКОРОСТИ

Аддитивность углов подсказывает возможность определения аддитивного параметра скорости