Физика пространства - времени

Относительно лаборатории ракета движется со скоростью _r. Чему равна скорость пули относительно лаборатории, измеренная по решётке часов лабораторной системы отсчёта? Ответ: эта скорость равна

=

Число метров,

пройденных в

направлении оси x

за каждый

Метр времени t,

прошедший

по часам

в лаборатории

=

x

t

=

[преобразование Лоренца; формулы (16)]

=

(1-_r^2)^1^/^2x'+_r(1-_r^2)^1^/^2•t'

_r(1-_r^2)^1^/^2x'+(1-_r^2)^1^/^2•t'

=

[в числителе и знаменателе произведено

сокращение на множитель

(1-

_r

^2)^1

^/

^2

]

=

x'+_rt'

_rx'+t'

=

числитель и знаменатель

разделены на

t'

)

=

(x'/t')+_r

_r(x'/t')+1

.

Окончательно

=

'+_r

1+'_r

(24)

(закон сложения скоростей). Иными словами, скорости не аддитивны. Лишь в предельном случае, когда скорости малы, две скорости ' и _r могут рассматриваться как аддитивные (с определённой степенью точности), если в знаменателе закона (24) произведением '_r можно пренебречь по сравнению с единицей (с той же самой степенью точности, например 1:10 или 1:10). Пример неаддитивности скоростей: пусть в момент выстрела ракета обладает скоростью, равной 3/4 скорости света; пусть пуля движется относительно ракеты со скоростью, равной 3/4 скорости света. Чему будет равна скорость пули относительно лаборатории? Ответ: не 3/4 + 3/4 =1,5 скорости света, а

=

3/4 + 3/4

1+( 3/4 )•( 3/4 )

=

^3/

^2/

=

24

25

=

0,96

(в метрах лабораторного расстояния за метр светового времени по лабораторным часам). Таким образом, релятивистский закон сложения скоростей (24) гарантирует, что никакой объект не может быть приведён в движение со скоростью света.

Определим параметр скорости таким образом, чтобы он был аддитивным!

Выяснив, что скорость сама по себе не аддитивна, мы предлагаем найти новую меру движения —«параметр скорости» , который должен быть аддитивным, т.е.

Параметр

скорости пули

относительно

лаборатории

=

Параметр

скорости пули

относительно

ракеты

+

Параметр

скорости ракеты

относительно

лаборатории

или

=

'

+

_r

.

(25)

Смысл этого параметра будет совершенно иным, чем смысл угла, описывающего поворот. Ни ка какой диаграмме параметр скорости нельзя изобразить в виде обычного угла, и вот по какой простой причине. Расстояния между точками на листе бумаги подчиняются законам эвклидовой геометрии. Напротив, интервалы между событиями в физическом мире определяются лоренцевой геометрией пространства-времени. Но если невозможно запечатлеть движущиеся пули и идущие часы на листе бумаги, то это никоим образом не лишает реальности указанные функционирующие объекты. Так и невозможность изобразить на листе бумаги аддитивность параметра скорости не сможет нас смутить, но скорее заставит взглянуть на действительный мир быстрых частиц и физики высокой энергии с тем, чтобы увидеть там активное проявление закона сложения параметра скорости. Этот закон сложения параметра скорости, ='+_r, во всех отношениях столь же реален, как и закон сложения углов поворота.

Скорость равна тангенсу гиперболическому от параметра скорости

Как же связаны между собой скорость и параметр скорости ? Соответствующая формула аналогична формуле, выражающей связь между наклоном и углом наклона (через тангенс угла), и имеет вид

=

th

.

(26)

Обозначение th означает «тангенс гиперболический». Функция гиперболического тангенса, как и гиперболических синуса и косинуса (sh и ch ), причём th =sh /ch , обычны в математическом анализе. Таблицы всех этих трёх функций можно найти в любом хорошем математическом справочнике. Их формальное определение дано в табл. 8. Тем не менее нам нет необходимости обращаться к этой таблице и к справочникам; ведь всё, что нам требуется знать о функции th , можно без труда получить уже из её определения. А определяется она следующими двумя свойствами:

а) Эта функция должна правильно описывать закон сложения скоростей. Тогда из соотношения

=

'+_r

1+'_r

и требования аддитивности ='+_r мы получаем закон сложения

th

=

th('+

_r

)

=

th +th _r

1+th '•th _r

(27)

[см. определение (26)].

б) При малых скоростях параметр должен переходить в обычную характеристику движения — скорость . Это требование означает, что функция th должна становиться сколь угодно близка к при стремлении к нулю. Вспомним, что обычный тангенс обычного угла стремится по величине к этому углу в пределе малых углов, если углы измеряются в радианах. Если измерять углы в градусах, то следует ввести поправочный множитель /180°. Здесь подобным же образом было бы можно измерять параметр скорости и в единицах, аналогичных градусам и минутам, но проще всего те единицы, при которых

th

—

малые

.

Назовём эти единицы «гиперболическими радианами»; они безразмерны.

Как можно найти связь между параметром скорости и скоростью из свойств (а) (аддитивность) и (б) (равенство th = для малых значений параметра скорости)?

Построение таблицы для тангенса гиперболического