Физика пространства - времени

Зная, что некоторая величина — вектор, и зная значения её компонент лишь в одной системе отсчёта, можно сразу же найти значения её компонент в любой другой системе отсчёта, используя соответствующий 3- или 4-мерный закон преобразования компонент.

Энергия как четвёртая компонента 4-вектора энергии-импульса

Мы ожидаем, что подобным же образом можно будет понять смысл импульса и энергии частицы на любом заданном этапе её истории, понять их как компоненты и не более как компоненты 4-вектора, существующего независимо от всякого выбора координат. Более того, связь такого «4-вектора энергии-импульса» с 4-вектором смещения AB не будет ни косвенной, ни далёкой. Разве может быть что-либо более последовательным и прямым, чем следующая цепочка рассуждений:

1) Берётся 4-вектор смещения AB с компонентами

dt

,

dx

,

dy

,

dz

(см. рис. 87).

Рис. 87. 4-вектор перемещения AB, соединяющий события A и B на мировой линии частицы. Он изображён здесь для частного случая, когда y- и z- компоненты перемещения dy и dz одновременно равны нулю.

2) С помощью 4-вектора AB строится единичный касательный вектор путём деления его на интервал собственного времени

d

=

(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2

,

взятый между мировыми точками A и B компоненты этого касательного вектора

dt

d

,

dx

d

,

dy

d

,

dz

d

изображены на рис. 88.

Рис. 88. Единичный касательный вектор к мировой линии частицы, полученный делением 4-вектора перемещения AB (рис. 87) на инвариантный интервал собственного времени d. Временная и пространственная компоненты единичного вектора касательной равны

dt

d =

dt

(dt)^2-(dx)^2 =

1

1-(dx/dt)^2 =

1

1-^2 = = 1 = 1 = 1-th^2

ch^2 - sh^2

1/2

  ch^2 ch^2 =

ch

ch^2-sh^2 = ch

и

dx

d =

dx

(dt)^2-(dx)^2 =

dt/dx

1-(dx/dt)^2 =

1-^2 = = th = th = 1-th^2

ch^2 - sh^2

1/2

  ch^2 ch^2 =

th ch

ch^2-sh^2 = sh .

(В приведённом здесь частном случае полная пространственная компонента перемещения dr равна x-компоненте перемещения dx. В более общем случае пространственная часть перемещения имеет вид dr=(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2, и тогда она даёт пространственную компоненту единичного вектора касательной, равную

dr

d =

1-^2 sh .

3) 4-вектор энергии-импульса получается при умножении этого единичного вектора на постоянную m; его компоненты равны

E

=

p

^t

=

m

dt

d

,

p

^x

=

m

d x

d

,

p

^y

=

m

d y

d

,

p

^z

=

m

d z

d

(77)

(см. рис. 89).

Рис. 89. 4-вектор энергии-импульса, полученный при умножении единичного вектора касательной (рис. 88) на постоянную массу m частицы. Временная компонента его называется «релятивистской энергией» и обозначается через E.

Подробности хода этих рассуждений и различные формы записи пространственных и временных компонент всех этих трёх 4-векторов приведены на рисунках. Не может быть никакого сомнения в том, что 4-вектор (dt, dx, dy, dz) остаётся 4-вектором после деления его на величину d и умножения на величину m, которые обе остаются одинаковыми во всех системах отсчёта.

Сохранение энергии E в одной системе отсчёта следует из сохранения импульса во всех системах отсчёта

Этим и исчерпывается краткое введение во взаимосвязь между импульсом и энергией. Перейдём теперь к важному вопросу: почему временну'ю компоненту получившегося 4-вектора можно называть энергией? Причины две. Во-первых, потому что эта компонента имеет правильную размерность — она выражается в единицах массы. Во-вторых, и это важнее всего, потому что полная величина этой компоненты сохраняется при всех столкновениях. Доказательство того, что сумма значений E для всех частиц подчиняется закону сохранения, базируется на простом соображении: если три компоненты какого-либо 4-вектора сохраняются во всех системах отсчёта, то четвёртая компонента также должна сохраняться (см. табл. 9). Мы знаем, что три (пространственные) компоненты полного импульса физической системы сохраняются во всех системах отсчёта. Поэтому полная временная компонента его тоже сохраняется. Подробности этого доказательства см. ниже.

Формулы преобразования Лоренца для элементов смещения при переходе между лабораторной системой отсчёта и системой ракеты можно записать в виде (37):

dt'

=-

dx sh

_r

+

dt ch

_r

,

dy'

=

dy

,

dx'

=

dx ch

_r

-

dt sh

_r

,

dz'

=

dz

.

Эти равенства не нарушатся, если их разделить с обеих сторон на инвариантный интервал d=d' и умножить на инвариантную массу m:

m

dt'

d'

=-

m

dx

d

sh

_r

+

m

dt

d

ch

_r

,

m

dy'

d'

=

m

dy

d

,

m

dx'

d'

=

m

dx

d

ch

_r

-

m

dt

d

sh

_r

,

m

dz'

d'

=

m

dz

d

,