Читаем Физика пространства - времени полностью

Физика пространства - времени

Джон Арчибальд Уиллер , Эдвин Флориман Тейлор

Но m·dx/d, m·dy/d и m·dz/d — компоненты релятивистского импульса, а m·dt/d — временна'я компонента нового 4-вектора, т.е. та самая величина, которую мы решили назвать «релятивистской энергией E». Мы пришли, таким образом, к следующим важным соотношениям, связывающим импульс и новую величину E в одной системе отсчёта с импульсом и E' — в другой инерциальной системе отсчёта:

E ch

E sh

(78)

Преобразования Лоренца для энергии и импульса

Рассмотрим теперь столкновение двух частиц; пусть p^x и p^x будут соответственно x-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в лабораторной системе отсчёта, а E и E — их «релятивистскими энергиями» в этой же системе. Пусть аналогично p'^x и p'^x будут x-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в системе отсчёта ракеты. Для того чтобы записать x-компоненту полного импульса в системе отсчёта ракеты до столкновения, следует сложить друг с другом два выражения x-компоненты импульса (для каждой частицы), фигурирующие как второе уравнение в системе (78):

(p'

)

Таблица 9.

Неизменность импульса в двух системах отсчёта гарантирует неизменность энергии в обеих системах

СВЯЗЬ С ОБСУЖДЕНИЕМ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Равенство нулю x-компоненты вектора в одной системе отсчёта никак не облегчает исследование поведения t-компоненты этого вектора. Здесь изображены три вектора, обладающие разными абсолютными величинами (и один из них вообще равен нулю), которые все кажутся одинаковыми для исследователя, знающего лишь величину их x-компонент.

Закон сохранения импульса утверждает, что полная сумма импульсов после столкновения равна полной сумме импульсов до столкновения. Или, что то же самое, имеется определённая величина — изменение полного импульса при столкновении, о которой мы знаем, что она равна нулю. Но это ещё не всё. Нам нужна вся информация о полном 4-векторе (равном изменению полного 4-вектора энергии-импульса при столкновении). Рассматривая одну только пространственную компоненту (или, на нашей диаграмме, удостоверившись только в равенстве нулю x-компоненты этого 4-вектора), мы никак не можем здесь показать, что равна нулю и временная компонента (иначе говоря, что равно нулю изменение энергии).

Взглянуть на этот же вектор из другой системы отсчёта — значит сразу же обнаружить разницу между векторами, казавшимися одинаковыми в прежней системе отсчёта. Допустим, что, как мы знаем, пространственная компонента некоторого 4-вектора равна нулю в двух разных системах отсчёта. Тогда можно быть уверенным, что этот 4-вектор вообще равен нулю (случай, изображённый справа).

Равенство нулю пространственной компоненты («импульсной компоненты») определённого 4-вектора (который и есть разность полных 4-векторов энергии-импульса до и после столкновения) в двух различных системах отсчёта гарантирует, что все компоненты этого 4-вектора вообще равны нулю. Значит, из того факта, что импульс сохраняется как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты, можно заключить, что и энергия сохраняется в обеих системах.

Такое же уравнение можно записать для этих частиц и после столкновения (две отдельные частицы после упругого столкновения; одна объединённая частица при неупругом ударе и много частиц, если неупругий удар сопровождался дроблением). Можно следующим образом сопоставить эти уравнения до и после столкновения:

До столкновения

: полная

-компонента импульса, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты

До столкновения

: полная

-компонента импульса, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

До столкновения

: полная релятивистская энергия, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

(79)

1-й этап

: эти члены равны друг другу ввиду закона сохранения импульса!

2-й этап