Физика пространства - времени

Второй раз в этой главе мы потребуем, чтобы импульс сохранялся при столкновениях как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты. Ввиду этого требования каждая из скобок, обозначающая импульс в уравнении (79), будет равна соответствующей скобке, обозначающей импульс в уравнении (80). Если справедливы оба уравнения, причём соответствующие скобки для импульсов равны друг другу, то скобки, обозначающие энергию, также должны быть равны. Поэтому в лабораторной системе отсчёта полная релятивистская энергия одинакова до и после столкновения: полная релятивистская энергия при столкновениях сохраняется.

Свойства полной релятивистской энергии

Из этих рассуждений мы получаем три вывода. Во-первых, мы можем сопоставить каждой частице массы m «релятивистскую энергию»

E

=

m

dt

d

.

Во-вторых, если имеется несколько свободно движущихся частиц, то релятивистская энергия этой системы равна сумме релятивистских энергий отдельных частиц. В-третьих, когда эти частицы разлетаются друг от друга после соударений и энергии отдельных частиц изменяются, полная релятивистская энергия системы остаётся той же, какой она была до столкновения (сохранение релятивистской энергии).

Свойство аддитивности, когда энергия системы свободных частиц равна сумме энергий отдельных частиц системы, знакомо нам на примере импульса, когда полный импульс физической системы складывается из импульсов входящих в неё частиц. Факт такой аддитивности говорит о том, что для нахождения энергии системы частиц достаточно вычислить энергии всех входящих в неё частиц по отдельности.

Другие способы выражать энергию

Выражение для релятивистской энергии частицы может быть записано множеством способов, причём целесообразность использования каждого из них зависит от обстоятельств. Так, согласно рис. 89, мы получим

E

=

m

dt

d

=

m

1-^2

=

m ch

.

(81)

Какие можно сделать заключения о связи между релятивистской энергией E и скоростью из этого соотношения? Какие заключения можно сделать отсюда о связи между E и энергией в ньютоновской теории? Между энергией и импульсом? При очень малых скоростях можно разложить выражение для релятивистской энергии в ряд по степеням , пользуясь формулой бинома или каким-либо другим методом:

E

=

m

1-^2

=

m·(1-^2)^1

^/

^2

=

=

m

1

+

^2

2

+

3

8

^2

+

…

.

Если скорость достаточно мала, в этом разложении можно ограничиться с любой желаемой степенью точности первыми двумя членами:

E

m

1

+

^2

2

=

m

+

m^2

2

малые

скорости

.

(82)

Но здесь 1/2 m^2 — обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии, взятое в единицах массы. Значит, релятивистская энергия имеет отношение к кинетической энергии частицы, хотя она (величина E) и не равна этой кинетической энергии ввиду наличия добавочного члена m. Этот добавочный член сохраняется, даже если частица находится в состоянии покоя, т.е. вообще лишена кинетической энергии. Поэтому член m называют энергией покоя E_покоя частицы,

E

_покоя

=

m

энергия покоя в

единицах массы

(83)

Выражение для энергии покоя частицы в обычных единицах E_{покоя обычн} можно получить из выражения для энергии покоя в единицах массы, умножая последнее на множитель перевода c^2. Мы приходим тогда к знаменитому выражению

E

_{покоя обычн}

=

mc^2

энергия покоя в

обычных единицах

(84)

Включение энергии покоя существенно для выполнения закона сохранения

Невозможно удовлетворить требованию сохранения импульса и энергии во всех инерциальных системах отсчёта, если не учитывать во всех системах энергию покоя в составе полной энергии. Этот урок, преподнесённый нам физикой пространства-времени, никак не предполагался в ньютоновской физике. Механика Ньютона не знает выражения для энергии покоя частицы, хотя, правда, в ней допускается добавление к энергии частицы любой постоянной добавочной энергии без нарушения законов, описывающих движение этой частицы. Предельное значение релятивистского выражения для энергии в случае малых скоростей можно рассматривать как нахождение величины этой ранее произвольной постоянной.

Релятивистское выражение для кинетической энергии

Можно считать, что релятивистская энергия частицы в любой системе отсчёта складывается из двух частей: энергии покоя частицы m плюс дополнительной энергии, которой обладает частица благодаря своему движению. Этот добавок и есть кинетическая энергия частицы. Тогда релятивистское выражение для кинетической энергии имеет вид

T

=

E-E

_покоя

=

m ch

-

m

=

m(ch -1)

=

=

m

1

1-^2

-1

кинетическая энергия

в единицах массы

(85)

Это выражение для релятивистской кинетической энергии справедливо для частиц, движущихся с любыми скоростями. Напротив, ньютоновская формула для кинетической энергии 1/2 m^2 верна лишь для медленных частиц.