Физика в примерах и задачах

На первый взгляд это самая обычная задача. Следует рассмотреть все действующие на доски силы и, пользуясь законами Ньютона, составить уравнения движения. Решив их, найдём ускорения a и a, и для ответа на поставленный вопрос останется только выяснить, при каких условиях ускорение нижней доски a больше ускорения верхней a. Однако, попытавшись выполнить эту программу, мы сразу столкнёмся с трудностью. Для решения уравнений нужно знать, как направлены все действующие силы. Но как направлены силы трения досок друг о друга? Это зависит от их относительной скорости, т.е. от того, какая из досок соскальзывает с большим ускорением. Получается заколдованный круг: чтобы найти ускорения, надо знать направления сил, а чтобы найти направления сил, требуется знать, какое из ускорений больше. Такое положение характерно для многих задач, где учитывается трение. Конечно, можно последовательно перебирать все мыслимые варианты и исключать те из них, которые приводят к нелепому результату. Но можно найти иной подход, чтобы подобных проблем не возникало.

Рис. 4.2. Действующие силы при условии, что нижняя доска выскальзывает из-под верхней

В данной задаче нам нужно только выяснить, возможно ли движение нижней доски с большим ускорением. Предположим, что это возможно, т.е. что мы подобрали такие значения масс и коэффициентов трения, при которых aa. Тогда направление всех сил определяется однозначно и указано на рис. 4.2, где F - сила трения нижней доски о наклонную плоскость, F=-F - силы трения досок друг о друга, N - нормальная сила реакции наклонной плоскости, N=-N - силы давления досок друг на друга. Составляя уравнения движения досок и проецируя их на направление вдоль наклонной плоскости, получаем

mg

sin

-

F

-

F

=

ma

,

mg

sin

+

F

=

ma

.

Из этих уравнений сразу видно, что при любых массах и коэффициентах трения

a

g sin

,

a

g sin

,

т.е. aa Мы получили противоречие: при предположении, что aa, из уравнений динамики следует, что aa. Так как уравнения динамики безусловно справедливы, полученное противоречие означает, что предположение о возможности движения нижней доски с большим ускорением ошибочно.

5. Бусинка на вращающемся стержне.

На гладкий стержень, расположенный под углом к вертикали, насажена бусинка (рис. 5.1). Стержень вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Описать движение бусинки по стержню. Трением пренебречь.

Рис. 5.1. Силы, действующие на неподвижную относительно стержня бусинку

Может ли бусинка покоиться относительно стержня? Предположим, что может. Это значит, что существует такая точка стержня (на расстоянии r от оси вращения - см. рис. 5.1), находясь в которой бусинка относительно стержня покоится, т.е. действующие на неё сила тяжести mg и сила реакции стержня N сообщают ей ускорение a, равное центростремительному ускорению этой точки стержня. Из рисунка видно, что

mg

ctg

=

ma

,

(1)

откуда следует (так как a=^2r), что r=(g/^2)ctg . Помещённая в эту точку бусинка покоится относительно стержня. Таким образом, положение равновесия бусинки на вращающемся стержне существует.

Рис. 5.2. Чтобы удержать бусинку в смещённом вверх положении, нужна сила F, действующая вниз вдоль стержня

Будет ли равновесие устойчивым? Другими словами, как будет вести себя бусинка, если по какой-либо причине она немного сместится из этого положения? Для выяснения этого вопроса поступим следующим образом: сместим бусинку немного вверх по стержню и выясним, при каком условии бусинка будет в равновесии и в этой новой точке. Только двумя силами mg и N здесь не обойтись, поскольку при наличии только этих двух сил положение равновесия определяется однозначно формулой (1). Нужна третья сила. Такой силой могла бы быть сила трения бусинки о стержень. Выясним, в какую сторону она должна быть направлена (рис. 5.2). Модуль и направление силы тяжести не изменились, направление нормальной силы реакции стержня N также не изменилось. Поскольку ma'ma, необходимо, чтобы сила трения была направлена вниз по стержню. Но по условию задачи этой силы нет, поэтому бусинка будет скользить вверх по стержню. Аналогичными рассуждениями можно показать, что при небольшом смещении бусинки вниз она будет скользить вниз, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, положение равновесия бусинки на вращающемся стержне будет неустойчивым.

Каким будет поведение бусинки при наличии трения? Поскольку сила трения покоя может изменяться от нуля до некоторого максимального значения, из предыдущих рассуждений ясно, что должен существовать целый участок на стержне, в любой точке которого бусинка будет покоиться относительно стержня. Предлагаем вам самостоятельно найти положение границ этого участка при известном коэффициенте трения. Если у вас возникнут затруднения, рекомендуем ознакомиться с задачей 7 «Брусок на наклонной плоскости».

6. Монета на горизонтальной подставке.