Физика в примерах и задачах

Подставка с лежащей на ней монетой движется поступательно в горизонтальной плоскости по окружности радиусом r с угловой скоростью . Коэффициент трения монеты о подставку равен . Каким будет установившееся движение монеты?

Из соображений симметрии ясно, что установившееся движение монеты происходит по окружности с той же угловой скоростью . Действительно, в горизонтальной плоскости отсутствуют какие-либо физически выделенные направления. Поэтому, какими бы ни были начальные условия, при установившемся движении траектория монеты будет представлять собой окружность в инерциальной лабораторной системе отсчёта. От начальных условий зависит только положение центра этой окружности. Любая другая мыслимая траектория таким свойством - отсутствием выделенных направлений - не обладает. Соображения симметрии позволяют сделать вывод, что и относительно подставки монета, если она проскальзывает, тоже движется по окружности. Теперь, когда мы представляем себе характер движения монеты в целом, остаётся только установить количественные соотношения между его характеристиками, в частности выразить радиусы окружностей, вычерчиваемых монетой в той и другой системах отсчёта, через приведённые в условии данные.

В горизонтальной плоскости на монету действует только сила трения со стороны подставки. Рассмотрим сначала случай, когда монета движется вместе с подставкой. Так как при поступательном движении подставки все её точки движутся по одинаковым окружностям радиуса r, то и монета движется по такой же окружности с ускорением ^2r, направленным к её центру. Так как это ускорение сообщается монете силой трения покоя, которая не может превышать значения mg, то установившееся движение монеты будет происходить вместе с подставкой при условии ^2r=g, т.е. при ^2r/g=1.

При значениях этого безразмерного параметра ^2r/g1 (т.е. при большей угловой скорости , или большем радиусе r, или меньшем коэффициенте трения ) монета будет проскальзывать относительно подставки. В этом случае центростремительное ускорение монете сообщает сила трения скольжения, направленная в сторону, противоположную вектору v скорости монеты относительно подставки. При движении по окружности сила перпендикулярна скорости V монеты в инерциальной системе отсчёта. Поэтому векторы V и v взаимно перпендикулярны. Скорость V монеты в лабораторной системе отсчёта представляет собой векторную сумму скорости монеты v относительно подставки и скорости u той точки подставки, в которой в данный момент находится монета (хотя, разумеется, скорости всех точек подставки одинаковы при её поступательном движении):

V

=

v

+

u

.

(1)

Соотношение (1) графически проиллюстрировано на рис. 6.1, где учтена указанная ортогональность векторов V и v. Из этого рисунка видно, что при проскальзывании монеты её скорость V в лабораторной системе всегда меньше скорости подставки u=r. По условию вектор u поворачивается с угловой скоростью , поэтому и весь треугольник скоростей на рис. 6.1 вращается как целое, так что взаимное расположение всех векторов остаётся неизменным. Это означает, что угол между векторами u и v фактически характеризует отставание по фазе вектора V скорости монеты от вектора u скорости подставки.

Рис. 6.1. Взаимное расположение векторов скоростей V монеты и u подставки

Для определения радиуса R круговой траектории монеты в лабораторной системе отсчёта воспользуемся вторым законом Ньютона, т.е. приравняем силу трения скольжения mg произведению массы m монеты на ускорение ^2R: g=R. Отсюда

R

=

g

^2

,

^2r

g

>=

1.

(2)

Интересно отметить, что при проскальзывании монеты радиус R траектории движения монеты не зависит от радиуса r окружностей, по которым движутся точки подставки. Однако радиус R, как видно из (2), не превосходит r и становится равным ему только при предельном значении параметра ^2r/g=1, когда проскальзывание прекращается.

Не представляет труда найти и радиус окружности, по которой монета движется относительно подставки. Все фигурирующие в формуле (1) скорости связаны с радиусами соответствующих окружностей соотношениями

V

=

R

,

v

=

,

u

=

r

.

(3)

Поскольку треугольник скоростей на рис. 6.1 прямоугольный, то с помощью теоремы Пифагора и соотношений (3) получаем

r^2

=

^2

+

R^2

,

откуда

=

r^2-R^2

.

(4)

Подставляя сюда найденное значение R из (2), находим

=

r

1-

g

^2r

^2

1/2

,

^2r

g

>=

1.

(5)

Видно, что радиус следа, который монета вычерчивает на подставке, также меньше радиуса r траектории движения подставки.

Соотношение между и R может быть различным. При «быстром» движении, когда ^2r/g>>1, монета в инерциальной лабораторной системе отсчёта практически стоит на месте (R), а подставка под ней описывает окружности радиуса r, так что r. При медленном движении подставки, когда ^2r/g1, монета почти не отстаёт от подставки, описывая в лабораторной системе отсчёта окружности почти такого же радиуса (Rr), так что 0.

Рис. 6.2. Траектория движения монеты и её след на подставке