Физика в примерах и задачах

Минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, находящемуся на расстоянии r от центра Земли, для того чтобы оно удалилось на бесконечность, носит название второй космической скорости. Её можно найти с помощью закона сохранения энергии:

v

_II

=

2gR^2/r

=

2

v

_I

.

Для тела, находящегося на поверхности Земли,

v

_II

=

2gR

=

11,2 км/с

.

Тело удалится на бесконечность независимо от того, в каком направлении сообщена ему вторая космическая скорость, хотя траектории при этом будут разные (но все параболические!). Если сообщить телу скорость больше второй космической, то оно удалится по гиперболе. Если начальная скорость меньше второй космической, то тело движется по эллипсу, один из фокусов которого совпадает с центром Земли. Это утверждение носит название первого закона Кеплера, который был открыт в результате наблюдений за движением планет вокруг Солнца.

При решении задач будут использоваться также второй и третий законы Кеплера. Согласно второму закону Кеплера секторная скорость спутника постоянна. Третий закон Кеплера утверждает, что квадраты периодов обращения спутников относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит.

Законы Кеплера можно вывести с помощью уравнений динамики и закона всемирного тяготения.

При решении задач, в которых встречается колебательное движение, следует помнить, что при гармонических колебаниях, когда равнодействующая всех сил направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению, круговая частота колебаний определяется соотношением

=

k/m

где m - масса тела, а k - коэффициент пропорциональности между силой и смещением. Применение этой формулы к малым колебаниям математического маятника длиной l даёт =g/l.

1. Неподвижный блок.

Через неподвижный блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами m и M, причём m(рис. 1.1). Найти силу натяжения нити при движении грузов, пренебрегая трением, массами блока и нити.

При указанных в условии идеализациях задача, конечно же, тривиальна. Если m, то тяжёлый груз будет падать практически свободно, т.е. почти с ускорением g. Но тогда в силу нерастяжимости нити лёгкий груз будет вынужден подниматься с таким же ускорением. Для этого действующая на него со стороны нити сила должна быть вдвое больше силы тяжести. Поэтому сила натяжения нити T=2mg. Так как массой блока можно пренебречь, то сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока.

Рис. 1.1. Силы, действующие на грузы во время движения

Разумеется, этот результат можно получить и строго. Рассматривая действующие на грузы силы (рис. 1.1) и проецируя уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов на вертикальное направление, получаем

Mg

-

T

=

Ma

,

(1)

mg

-

T

=-

ma

.

(2)

Исключая из этих уравнений ускорение грузов a находим

T

=

2mM

m+M

g

.

При mзнаменателе можно пренебречь m по сравнению с M. Это даёт T2mg

А теперь предположим, что, начав решать эту задачу строго и записав уравнения (1) и (2), мы сообразили, что при заданном условии ma практически равно g. Тогда для нахождения T можно подставить это значение ускорения a=g в уравнение (1) или (2). Подстановка a=g в уравнение (2) действительно даёт значение T=2mg. А вот подстановка в уравнение (1) приводит к неожиданному результату T=0. В чем же тут дело? Ведь уравнения (1) и (2) точные, и строгое решение возможно только при использовании обоих этих уравнений.

Этот пример ярко иллюстрирует то обстоятельство, что в физике понятия «малая величина» и «большая величина» сами по себе бессмысленны. Если «большая» или «малая», то обязательно должно быть указано, по сравнению с чем. Подставляя приближённое значение a=g в уравнения (1) или (2), мы выражаем силу натяжения нити T через силу тяжести, действующую соответственно на тяжёлый или на лёгкий груз. Поскольку сила T того же порядка величины, что и сила тяжести лёгкого груза mg, то уравнение (2) даёт правильный ответ.

Подстановка a=g в уравнение (1) не приводит к правильному ответу, ибо по сравнению с большой величиной Mg и нуль, и 2mg - это почти одно и то же. Чтобы уравнение (1) приводило к правильному ответу, в нем нужно учесть малое отличие a от g.

Используя понятие большой или малой величины, нужно обязательно отдавать себе отчёт, с чем эта величина сравнивается. И хотя во многих случаях это явно не оговаривается, но всегда подразумевается. Так, например, в этой задаче, пренебрегая массой блока и массой нити, мы не оговорили, по сравнению с чем малы эти величины. А кстати, по сравнению с чем?

2. Нефизическая задача.

Тело сбрасывается в воду с некоторой высоты без начальной скорости; при этом измеряется глубина его погружения за одну секунду после вхождения в воду. Установлено, что если начальную высоту изменить в k раз, то глубина погружения изменится в l раз. При каких соотношениях между k и l тело тонет в воде? Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.