Физика в примерах и задачах

II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Динамика изучает, как происходит движение тела при его взаимодействии с другими телами. Взаимодействие описывается на языке сил, действующих на тело. Основу динамики материальной точки составляют три закона Ньютона. Первый закон выделяет те системы отсчёта, в которых уравнения динамики имеют наиболее простой вид, - это так называемые инерциальные системы отсчёта. Второй закон Ньютона устанавливает связь между ускорением, с которым движется материальная точка в инерциальной системе отсчёта, и действующими на неё силами. Третий закон связывает между собой силы, с которыми тела действуют друг на друга.

В динамике взаимодействие тел считается заданным: например, гравитационное взаимодействие материальных точек описывается законом тяготения, а электростатическое взаимодействие точечных зарядов - законом Кулона. Выражения для сил, входящих в законы Ньютона, должны быть взяты из других разделов физики, где изучается их природа.

Решение динамической задачи следует начинать с анализа всех сил, действующих на интересующее нас тело.

Остановимся несколько подробнее на тех видах сил, которые встречаются в задачах этого раздела. Гравитационное взаимодействие тел осуществляется посредством создаваемых ими полей тяготения. Тело со сферически-симметричным распределением масс (например, земной шар) создаёт в окружающем пространстве такое же гравитационное поле, как и материальная точка такой же массы, помещённая в его центр. В задачах о движении спутников Земли удобно выражать действующую на них силу притяжения Земли через расстояние спутника до центра Земли r, ускорение свободного падения g на поверхности Земли и её радиус R:

F

=

G

mM

r^2

=

mgR^2

r^2

,

(1)

где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, m - масса спутника. Такой вид формулы для F удобен тем, что действующая на спутник сила выражается через легко запоминающиеся величины g=9,8 м/с^2 и R - 6370 км.

Силу Q с которой шероховатая поверхность действует на тело, удобно представить как сумму силы реакции опоры N и силы трения F_тр

Во многих задачах приходится рассматривать трение тел друг о друга. При наличии трения силу Q, с которой одно тело действует на другое, удобно рассматривать как две силы (см. рисунок): силу N, направленную по нормали к поверхности контакта (сила нормального давления или сила реакции опоры, которая по своей природе является упругой силой), и силу трения F_тр, направленную по касательной. Удобство заключается в том, что при скольжении тел модули этих составляющих одной силы Q связаны между собой приближённым законом Кулона - Амонтопа, установленным опытным путём:

F

_тр

=

N

.

(2)

Коэффициент трения скольжения зависит от рода соприкасающихся поверхностей. Обычно пренебрегают слабой зависимостью силы трения от площади контакта и от относительной скорости тел. Для трения покоя закон (2) не имеет места: сила трения покоя может изменяться от нуля до некоторого максимального значения, обычно несколько превышающего силу трения скольжения для этих поверхностей. При решении задач для простоты максимальное значение силы трения покоя принимается равным N.

Основное уравнение динамики - второй закон Ньютона - векторное уравнение. В рассматриваемых задачах действующие силы лежат в одной плоскости, поэтому можно выбрать систему координат так, чтобы векторное уравнение второго закона сводилось к двум скалярным.

Применение второго и третьего законов Ньютона к системе взаимодействующих тел позволяет сформулировать закон движения центра масс системы тел в очень простом виде: центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной сумме масс всех тел, входящих в систему, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на тела рассматриваемой системы. В частности, отсюда следует, что под действием только внутренних сил центр масс не может приобрести ускорения.

Решение динамических задач часто облегчается использованием законов сохранения энергии, импульса и момента импульса. Особенно эффективным является использование этих законов в тех случаях, когда действующие силы непостоянны и непосредственное решение уравнений динамики с помощью элементарной математики невозможно. Закон сохранения энергии широко используется при решении задач о движении космических аппаратов. Как и в (1), выражение для потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли удобно записать через ускорение свободного падения на поверхности Земли:

E

_п

(r)

=-

G

mM

r

=-

mgR^2

r

.

(3)

В выражении (3) потенциальная энергия стремится к нулю при r->, т.е. потенциальная энергия тяготения тела, удалённого на бесконечность, принята равной нулю.

Скорость спутника, движущегося по круговой орбите радиусом r называется первой космической скоростью. Её можно найти с помощью второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:

v

_I

=

gR^2/r

Для спутника, движущегося вблизи поверхности Земли, первая космическая скорость v_I=gR=7,9 км/с.