Физика в примерах и задачах

v

.

(3)

Посмотрите ещё раз на рис. 1.5б и сообразите, куда следует направлять нос лодки при переправе, чтобы её снос течением был минимальным.

2. Как опередить автобус?

Человек находится в поле на расстоянии l от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автобуса как можно дальше от него? Скорость автобуса u, скорость человека v.

Интерес, разумеется, представляет только случай vu человек может убежать от автобуса на любое расстояние.

Рис. 2.1. Бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути

Чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если при этом он даже и успеет выбежать на шоссе впереди автобуса, то всё равно расстояние до автобуса не будет максимальным из возможных. В самом деле, если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым небольшим углом к перпендикуляру (рис. 2.1), то путь человека до шоссе увеличится на величину l, но зато он выбежит на дорогу на расстоянии d левее точки B. Если выбрать угол достаточно малым, то расстояние d можно сделать больше расстояния l в любое число раз. Поэтому, несмотря на то что скорость человека v меньше скорости автобуса u, он окажется на шоссе на большем расстоянии от автобуса, чем в точке B.

В каком же направлении следует бежать человеку? Оказывается, что на этот вопрос легко ответить, если перейти в другую систему отсчёта, в которой автобус покоится. Эта система отсчёта движется относительно земли в левую сторону со скоростью u. В данной системе неподвижно стоящий на земле человек имеет скорость u, направленную вправо (рис. 2.2). Полная скорость человека в новой системе отсчёта V равна векторной сумме u и скорости человека относительно земли v.

Рис. 2.2. Скорость человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен

Теперь нетрудно сообразить, что эта задача эквивалентна рассмотренной выше задаче о минимальном сносе лодки при переправе на другой берег реки. Так как в рассматриваемой системе отсчёта автобус неподвижен, то требование выбежать на шоссе как можно дальше от автобуса равносильно требованию минимального сноса лодки при переправе через реку. Поэтому искомое направление вектора v определяется таким же построением, как и в предыдущей задаче (рис. 2.3). Траектория человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен, - это прямая AC. Траектория же в системе отсчёта, связанной с землёй, - прямая AD.

Рис. 2.3. К нахождению направления движения человека

Таким образом, бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути, а под углом к нему, причём

sin

=

v

u

Из рис. 2.3 видно, что человек сможет прибежать на шоссе раньше автобуса только в том случае, если в начальный момент автобус находится от точки B на расстоянии, не меньшем

s

_min

=

lu^2-v^2

v

.

Рассмотренная задача может служить примером того, как удачный выбор системы отсчёта позволяет значительно облегчить решение.

3. Радиус кривизны.

Найти радиус кривизны циклоиды в верхней точке её дуги - в точке A на рис. 3.1.

Рис.3.1. Циклоида

Нахождение радиуса кривизны заданной кривой - это, разумеется, чисто геометрическая задача. Для её решения достаточно знать уравнение кривой. Поэтому на первый взгляд не ясно, какое отношение к физике имеет поставленный в задаче вопрос.

Однако иногда такие задачи можно очень просто решить, воспользовавшись тем, что радиус кривизны кривой входит в некоторые кинематические формулы. Основная идея заключается в том, что рассматриваемую геометрическую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики.

Рис. 3.2. Циклоида как траектория точки обода катящегося колеса

Циклоиду можно рассматривать как траекторию какой-либо точки обода колеса, которое катится без проскальзывания по прямой. На рис. 3.2 показана циклоида, которую «вычерчивает» точка A, находившаяся внизу в начальный момент. Точка A описывает данную циклоиду независимо от того, катится ли колесо равномерно или с ускорением, важно только, чтобы оно не проскальзывало. Проще всего рассмотреть, разумеется, равномерное качение колеса. Такое качение получается в результате сложения равномерного вращения колеса вокруг оси и равномерного поступательного движения, линейная скорость которого v равна произведению угловой скорости на радиус колеса r.

Во всех инерциальных системах отсчёта материальная точка имеет одно и то же ускорение. Поэтому находить его можно в любой такой системе отсчёта. Ясно, что ускорение точек обода колеса связано только с его вращением вокруг оси. Поэтому ускорение a любой точки обода направлено по радиусу к центру колеса и определяется выражением

a

=

v^2

r

.

(1)

Значит, и в высшей точке циклоиды ускорение элемента обода колеса равно v^2/r и направлено вниз (рис. 3.2).

Теперь рассмотрим движение этой же точки обода как движение по циклоиде. Скорость в любой точке траектории направлена по касательной к ней; значит, в высшей точке циклоиды скорость направлена горизонтально. Ускорение же, как мы выяснили, направлено вертикально вниз, т.е. перпендикулярно скорости. Поэтому найденное выше ускорение может быть записано также в виде

a

=

V^2

R

,

(2)

где V - скорость точки обода в её верхнем положении, а R - искомый радиус кривизны циклоиды.

Для нахождения V будем рассуждать следующим образом. Скорость любой точки обода катящегося колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения колеса и линейной скорости вращения вокруг оси. При отсутствии проскальзывания эти скорости равны по модулю. В верхней точке они и направлены одинаково. Поэтому V=2v, и, сравнивая формулы (1) и (2), находим

R

=

4v

.

(4)

Радиус кривизны циклоиды в верхней точке равен удвоенному диаметру колеса. Если бы мы рассматривали качение колеса как вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей в каждый момент с нижней неподвижной точкой колеса (рис. 3.2), то могло бы показаться, что верхняя точка движется по окружности, радиус которой равен диаметру колеса. Так оно и было бы, если бы мгновенная ось вращения O оставалась неподвижной. На самом деле эта ось перемещается вместе с колесом, и именно поэтому рассматриваемая точка обода A движется в этот момент по окружности, радиус которой даётся формулой (3).

4. Падающий мяч.

Заброшенный в кольцо баскетбольный мяч начинает отвесно падать из корзины без начальной скорости. В тот же момент из точки, находящейся на расстоянии l от кольца, в падающий мяч бросают теннисный мяч (рис. 4.1). С какой начальной скоростью был брошен теннисный мяч, если мячи столкнулись на расстоянии h от кольца?

Рис. 4.1. Падающий мяч

В поставленном вопросе подразумевается, что нужно найти вектор начальной скорости теннисного мяча, т.е. его направление (угол ) и модуль (v). Если решать задачу в исходной (лабораторной) системе отсчёта, то ход рассуждений может быть следующим. Записываем выражения для перемещений обоих мячей за время t от начала движения до их встречи, затем проецируем их на вертикальное и горизонтальное направления (рис. 4.2). В результате приходим к системе уравнений

h

=

gt^2

2

,

H

-

h

=

v

sin ·t

-

gt^2

2

,

l^2-H^2

=

v

cos ·t

.

(1)

Здесь H - высота кольца над точкой бросания теннисного мяча, а l^2-H^2 представляет собой расстояние до кольца по горизонтали (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Проекции перемещений мячей

В системе трёх уравнений (1) четыре неизвестных величины: v, , t и H. Поэтому может показаться, что задача не имеет единственного решения. Однако это не так. Действительно, подставляя h из первого уравнения во второе, получаем

H

=

v

sin ·t

.

(2)

Разделив почленно это уравнение на третье уравнение системы (1), находим выражение для tg :

tg

=

H

l^2-H^2

.

(3)

Теперь с помощью рис. 4.2 можно увидеть, что угол , под которым должна быть направлена начальная скорость теннисного мяча, в действительности соответствует направлению из точки бросания на кольцо. Истинное направление начальной скорости v показано на рис. 4.3. Итак, бросать теннисный мяч нужно точно в направлении кольца. Модуль его начальной скорости можно найти, подставляя t=2h/g из первого уравнения системы (1) в уравнение (2). Учитывая, что H/sin =l, получаем

v

=

l

t

=

l

2h/g

.

(9)

Рис. 4.3. Истинное направление вектора v начальной скорости

Но всех этих преобразований можно избежать, если с самого начала перейти в систему отсчёта, связанную с баскетбольным мячом, т.е. свободно падающую с ускорением g в этой системе отсчёта баскетбольный мяч, естественно, неподвижен, а теннисный движется равномерно и прямолинейно со скоростью v. Очевидно, что эта скорость v должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время t=l/v мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчёта за это время баскетбольный мяч опустится на расстояние

h

=

gt^2

2

=

g

2

l

v

^2

,

(5)

откуда для v получаем прежнее выражение (4). На примере этой задачи мы видим, что в некоторых случаях удобным оказывается переход в ускоренно движущуюся систему отсчёта.

5. В цель с наименьшей начальной скоростью.

Необходимо с поверхности земли попасть камнем в цель, которая расположена на высоте h и на расстоянии s по горизонтали. При какой наименьшей начальной скорости камня это возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь.

На первый взгляд кажется, что начальная скорость камня будет наименьшей, если верхняя точка его траектории совпадает с мишенью (рис. 5.1а).

Рис. 5.1. К выбору оптимальной траектории

Может быть, и вам так показалось? Иллюзия эта настолько сильна, что подобное решение аналогичной задачи можно встретить в некоторых солидных пособиях по решению физических задач. Однако, даже не решая задачи, легко убедиться, что это не так. Действительно, будем мысленно уменьшать высоту, на которой расположена цель. При этом точка, куда попадает камень, продолжает согласно предположению оставаться верхней точкой траектории (рис. 5.1б), в том числе и в предельном случае h=0. Но совершенно очевидно, что для того чтобы попасть в цель, находящуюся на земле, достаточно просто добросить камень до цели (рис. 5.1б). Итак, предположение о том, что цель совпадает с высшей точкой траектории полёта камня, неверно.

Ошибочность этого предположения становится ещё более очевидной, если заметить, что требуемая при этом начальная скорость должна возрастать по мере того, как h->0.

Приведённый анализ представляет собой пример проверки решения задачи предельным переходом к более более простому случаю, когда ответ либо очевиден, либо может быть легко найден.

Из приведённого качественного анализа можно сделать заключение, что цель всегда должна находиться на нисходящей ветви траектории (рис. 5.1б). Ещё раз напомним, что мы ищем траекторию с минимальной начальной скоростью.

Приступим к решению задачи.

Пусть камень брошен под углом к горизонту и попал в цель. Его перемещения по горизонтали s и по вертикали h могут быть записаны следующим образом:

s

=

v

cos ·t

,

h

=

v

sin ·t

-

gt^2

2

.

Поскольку время полёта камня t нас не интересует, исключим его из этих уравнений. Выражая t из первого уравнения и подставляя во второе, получаем

h

=

s tg

-

gs^2

2v^2cos^2

.

(1)

Это уравнение содержит две неизвестные величины v и и имеет поэтому бесчисленное множество решений, что соответствует возможности попасть в цель бесконечным числом способов. Из этих решений нам нужно выбрать то, которое соответствует минимальному значению v.

Прямой путь решения этой задачи состоит в нахождении v как функции от из уравнения (1) и исследовании этой функции на экстремум, что требует, однако, применения высшей математики. Поэтому поступим иначе. Решим уравнение (1) относительно . Используя известное соотношение 1/cos^2=1+tg^2, замечаем, что из (1) получается квадратное уравнение относительно tg :

gs^2tg^2

-

2v^2s

tg

+

gs^2

+

2v^2h

=

0.

(2)

Решив его, получим

tg

=

1

gs

v^2

±

v-g(gs^2+2v^2h)

.

Казалось бы, ничего хорошего не получается - громоздкое выражение. А на самом деле мы в двух шагах от ответа на вопрос задачи. Действительно, для tg физический смысл имеют только вещественные решения, и поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:

v^2

-

2ghv^2

-

g^2s^2

>=

0.

Легко убедиться, что минимальное значение v^2 при котором это соотношение справедливо, соответствует случаю равенства; таким образом,

v^2

_min

=

g(h+

h^2+s^2

)

.

(Второй корень v^2_min=g(h-h^2+s^2) не имеет физического смысла, так как квадрат скорости есть величина положительная.) Итак, полученный нами ответ имеет вид

v

_min

=

g(h+

h^2+s^2

)

1/2

.

(3)

Проанализируем теперь решение несколько подробнее. Возвратимся к квадратному уравнению для tg . При положительном дискриминанте оно имеет два решения, т.е. при заданном значении v камень может попасть в цель по двум различным траекториям. При отрицательном дискриминанте решений нет, т.е. ни при каком значении угла камень не попадёт в цель при заданной скорости. При равном нулю дискриминанте имеется только одно решение (единственная траектория полёта камня до цели). Именно в этом случае, как мы выяснили, начальная скорость будет минимальной, а выражение для tg имеет особенно простой вид:

tg

=

v^2_min

gs

=

h+h^2+s^2

s

.

(4)

Проверим правильность полученного результата предельными переходами.

1. Если h=0, то tg =1, т.е. камень нужно бросить под углом /4. Хорошо известно, что это соответствует максимальной дальности полёта по горизонтали при заданной начальной скорости, а при заданной дальности - минимальной начальной скорости. Этот случай уже обсуждался вначале.

2. Если s->0 то tg -> а ->/2. Действительно, камень следует бросать вертикально вверх, и только в этом случае положение цели совпадает с наивысшей точкой траектории.

Итак, мы решили поставленную задачу, потребовав, чтобы корни квадратного уравнения (2) для tg имели физический смысл, т.е. были вещественными.

Рассмотрим теперь несколько иной способ рассуждений, приводящий, естественно, к тому же результату. Прежде всего отметим одно очевидное обстоятельство: при заданном расстоянии s чем выше расположена цель, тем больше должна быть минимальная начальная скорость камня. Поэтому, вместо того чтобы искать минимум v при заданном h, можно искать максимум h при заданном v.

Предположим, что v задано. Тогда, выразив h из (2):

h

=-

gs^2

2v^2

tg^2

+

s tg

-

gs^2

2v^2

,

легко исследовать получившийся квадратный трехчлен относительно tg на максимум. (Напомним, что максимум квадратного трехчлена y=ax^2+bx+c (a<0) имеет место при x=-b/2a и равен c-b/4a.) Максимальное значение h достигается при tg =v^2/gs и равно

h

=

v^2

2g

-

gs

2v^2

.

(5)

Из (5) находим минимальное значение начальной скорости v при заданной высоте цели h, совпадающее с полученным ранее.

6. В цель за стеной.

Между целью и миномётом, находящимися на одной горизонтали, расположена стена высотой h. Расстояние от миномёта до стены равно a, а от стены до цели b. Определить минимальную начальную скорость мины, необходимую для поражения цели. Под каким углом при этом следует стрелять? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рис. 6.1. Траектории, проходящие через цель

Попробуем разобраться в этой задаче, не выписывая пока никаких формул. Рассмотрим все траектории, проходящие через цель, забыв на время о существовании стены. На рис. 6.1 выделена траектория, соответствующая наименьшему значению начальной скорости мины. Напомним, что этой траектории соответствует угол =45°. Нетрудно убедиться, что начальные скорости, соответствующие другим траекториям, монотонно возрастают при удалении этих траекторий от выделенной как вверх, так и вниз. Поэтому если стена окажется ниже выделенной траектории, то решение тривиально: именно эта траектория и удовлетворяет поставленным условиям. Если стена окажется выше, то искомая траектория проходит через верхний край стены. Вот и всё.

Теперь остаётся только записать эти рассуждения на математическом языке, т.е. получить выражения для вычисления начальной скорости v и угла в каждом из этих случаев.

Прежде всего получим общее уравнение траектории, проходящих через цель. Как мы уже знаем, уравнение траекторий, выходящих из начала координат, имеет вид

y

=

x tg

-

gx^2

2v^2

(1+tg^2)

.

(1)

Потребуем, чтобы эти траектории проходили через цель. Для этого положим в (1) y=0 при x=a+b:

0

=

(a+b)

tg

-

g(a+b)^2

2v^2

(1+tg^2)

.

(2)

Выражая из (2) начальную скорость v и подставляя в (1), получим уравнение траекторий, проходящих через цель:

y

=

x

1

-

x

a+b

tg

.

(3)

Придавая разные значения в пределах от 0 до /2, получаем все траектории, изображённые на рис. 6.1. Выделенная траектория получается при tg =1 (=/4):

y

=

x

1

-

x

a+b

.

(4)

Выясним теперь, при каком условии эта траектория проходит над стеной. Для этого найдём высоту h точки траектории при x=a:

h

=

a

1

-

a

a+b

=

ab

a+b

.

Таким образом, если высота стены h меньше, чем h то искомая траектория определяется выражением (4), а соответствующая ей начальная скорость v легко находится из уравнения (2) при tg =1:

v

_min

=

g(a+b)

Это есть обычное соотношение между начальной скоростью и максимальной дальностью полёта по горизонтали.

Определим теперь искомую траекторию, если стена выше выделенной траектории: h>h Как уже отмечалось, в этом случае нужно найти траекторию, проходящую через верхний край стены, т.е. положить в (3) y=h при x=a:

h

=

a

1

-

a

a+b

tg

,

откуда tg =h(a+b)/ab Уравнение искомой траектории получим, подставив найденное значение tg в формулу (3):

y

=

x

1

-

x

a+b

a+b

ab

h

.

Отметим, что для ответа на поставленные в задаче вопросы это уравнение нам не требуется, но оно даёт возможность проследить, через какие точки мина летит к цели. Для нахождения соответствующей этой траектории начальной скорости нужно подставить полученное значение tg в уравнение (2):

v^2

_min

=

gab

2h

1

+

h

a+b

ab

^2

.

Итак, резюмируя изложенное, сформулируем ответ:

если

h

=

ab

a+b

, то

=

4

,

v^2

=

g(a+b)

;

если

h

>=

ab

a+b

, то

=

arctg

h

a+b

ab

,

v^2

=

gab

2h

1+

h

a+b

ab

^2

.

Полезно и в этой задаче рассмотреть предельные случаи. Не будем останавливаться на относительно малоинтересных случаях, как, например, a-b (стена посредине между миномётом и целью).

Бессмысленно полагать a=0 или b=0 при h/=0, но, несомненно, представляет интерес случай, когда a и b одновременно стремятся к нулю (при h/=0). В этом предельном случае требуется просто перебросить мину через стену, Ответ в этом случае очевиден: стрелять нужно вертикально вверх (=/2), а начальная скорость v=2gh. Покажем, как получить этот результат из ответа к задаче. Здесь, конечно, нужно обращаться к случаю h>=ab/(a+b). Полагая a=b и одновременно устремляя их к нулю, получим ->/2 и

v^2

=

g

2h

ab

+

h^2

(a+b)^2

ab

=

g

2h

(a^2+4h^2)

->

2gh

.

7. Простреливаемая область.

Зенитное орудие может сообщить снаряду начальную скорость v в любом направлении. Требуется найти зону поражения, т.е. границу, отделяющую цели, до которых снаряд из данного орудия может долететь, от недостижимых целей. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Попробуем сначала выяснить, что можно сказать об этой границе, не решая задачи. Сам факт существования такой границы сомнений не вызывает, так что поставленный в задаче вопрос имеет смысл (кстати, начиная решать задачу, никогда не вредно подумать об этом). Попытаемся представить себе искомую границу. Очевидно, что она представляет собой некоторую поверхность. Если цель находится точно над орудием, то стрелять нужно вертикально вверх. Снаряд при этом поднимается на высоту h=v^2/2g после чего начинает падать вниз, так что граница достижимых целей пересекает вертикаль в точке, находящейся на высоте h.

Рис. 7.1. Граница простреливаемой области

Если ограничиться целями, находящимися на горизонтальной плоскости, то очевидно, что граница представляет собой окружность, радиус которой равен максимальной дальности полёта снаряда по горизонтали s=v^2/g (напомним, что максимальная дальность полёта по горизонтали достигается при угле возвышения ствола орудия =/4). Эта окружность есть пересечение искомой поверхности с горизонтальной плоскостью (рис. 7.1). Вообще из симметрии можно сделать вывод, что искомая поверхность представляет собой поверхность вращения некоторой кривой вокруг вертикали, проходящей через орудие, и задача сводится к нахождению этой кривой. Отметим, что кривая есть огибающая всех возможных траекторий (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Граница является огибающей для траекторий

Приступим к решению задачи. Выберем систему координат: орудие расположим в начале координат, ось x направим горизонтально, ось y - вертикально. Тогда зависимость координат снаряда от времени имеет вид

x(t)

=

v

cos ·t

,

y(t)

=

v

sin ·t

-

gt^2

2

.

Исключив из этих уравнений t получим уравнение траектории снаряда y=f(x):

y

=

x tg

-

gx^2

2v^2

(1+tg^2)

.

(1)

Это уравнение параболы. Коэффициенты при x и x^2 зависят от угла , т.е. при разных направлениях начальной скорости получаются различные траектории. Таким образом, данное уравнение описывает семейство траекторий при одних и тех же по модулю, но различных по направлению начальных скоростях v.

Но этому же уравнению можно придать и другой смысл. Будем теперь рассматривать x и y как координаты определённой цели, в которую попадает снаряд, двигаясь по некоторой траектории. Тогда при заданных координатах цели x и y уравнение (1) определяет угол, под которым нужно выпустить снаряд с начальной скоростью v для того, чтобы он попал в эту цель. Решая это квадратное относительно tg уравнение, находим

tg

=

1

gx

v^2

±

v-g(gx^2+2v^2y)

.

(2)

Если уравнение имеет вещественное решение, т.е. дискриминант неотрицателен:

v-g(gx^2+2v^2y)

>=

0,

(3)

то в цель попасть можно. Если вещественных решений нет, т.е.

v-g(gx^2+2v^2y)

0,

то в цель попасть нельзя. Это значит, что цель находится за пределами искомой границы. Координаты цели, расположенной на границе, должны удовлетворять соотношению v-g(gx^2+2v^2y)=0. Выражая отсюда y как функцию x, получаем уравнение границы в явном виде:

y

=

v^2

2g

-

gx^2

2v^2

.

(4)

Это уравнение параболы с вершиной при x=0, y=v^2/2g. Коэффициент при x^2 отрицателен, т.е. ветви параболы направлены вниз и пересекают горизонтальную ось в точках x±v^2/g. (рис.7.2). Итак, полученная граница действительно проходит через точки, которые вначале были нами установлены из элементарных соображений.

Мы нашли сечение граничной поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность может быть получена вращением этой параболы вокруг оси y.

В связи с приведённым решением сделаем ещё несколько замечаний. Рассмотрим какую-либо точку, находящуюся ближе границы (например, точку A на рис. 7.2). Для такой точки подкоренное выражение в формуле (2) положительно, и, следовательно, через неё проходят две траектории (при заданном значении начальной скорости), соответствующие двум возможным значениям угла .

В баллистике одна из этих траекторий называется настильной, а другая, касающаяся границы до попадания в цель, - навесной. Через каждую точку, принадлежащую границе, проходит лишь одна траектория. Отметим, что граница является огибающей для семейства траекторий при различных направлениях начальной скорости и фиксированном значении начальной скорости v

Приведём другой возможный путь решения этой задачи, связанный с ещё одной трактовкой уравнения (1). Рассмотрим цели, находящиеся на одной вертикали, отстоящей от орудия на расстояние x, и найдём на ней самую высокую точку, в которую ещё может попасть снаряд. Эта точка, очевидно, принадлежит границе. Таким образом, задача сводится к нахождению максимума y, т.е. правой части уравнения (1), рассматриваемой как функция угла . Правая часть есть квадратный трехчлен относительно tg и имеет максимум при tg =v^2/gx. Соответствующее максимуму значение y получается подстановкой этого значения tg в уравнение (1):

y

=

v^2

2g

-

gx^2

2v^2

,

что совпадает с полученным ранее уравнением границы (4).

8. Грязь от колёс.

Телега равномерно катится по горизонтальной мокрой дороге. На какую максимальную высоту поднимаются капли воды, срывающиеся с обода колеса?

Эта задача во многом подобна предыдущим. Самая существенная особенность заключается, пожалуй, в том, что для её решения нельзя поместить начало координат в исходную точку траектории капли, так как отрыв капель происходит в разных точках обода колеса. Совместим поэтому начало координат с центром колеса, т.е. будем рассматривать движение капель в системе отсчёта, связанной с телегой, движущейся равномерно и прямолинейно относительно земли. Очевидно, что максимальная высота подъёма капель по вертикали не зависит от того, рассматривать их движение в системе отсчёта, связанной с землёй, или в системе отсчёта, связанной с равномерно движущейся по горизонтали телегой. Если скорость телеги равна v и колеса не пробуксовывают, то в выбранной системе отсчёта скорость любой точки обода также равна v. (Докажите последнее утверждение сами - это совсем просто.) Положение любой из точек, в которых происходит отрыв капли от обода, однозначно определяется углом (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Траектории капель в системе отсчёта, связанной с телегой

Текущие координаты капли, оторвавшейся от обода колеса в точке, характеризуемой углом , определяются соотношениями

x(t)

=-

R cos

+

v

sin ·t

,

(1)

y(t)

=

R sin

+

v

cos ·t

-

gt^2

2

.

(2)

Для нахождения максимальной высоты подъёма капли y_max нужно подставить в уравнение (2) время подъёма капли t, которое проще всего найти следующим образом. В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости v_y обращается в нуль: v_y=v cos -gt=0, откуда

t

=

v

g

cos

.

(3)

Тогда максимальная высота подъёма капли, оторвавшейся от обода в рассматриваемой точке,

y

_max

=-

v^2

2g

sin^2

+

R sin

+

v^2

2g

.

(4)

(В этой формуле cos выражен через sin .)

Из (4) видно, что максимальная высота подъёма зависит от угла , т.е. от того, в какой точке произошёл отрыв капли. В какой же точке должна оторваться капля, чтобы подняться выше всех остальных? Выражение (4) для максимальной высоты подъёма представляет собой квадратный трехчлен относительно sin и принимает своё наибольшее значение

h

_max

=

gR^2

2v^2

+

v^2

2g

(5)

при sin =gR/v^2. Конечно, этот результат имеет смысл, если gR=v^2, т.е. если телега катится достаточно быстро. В противном случае, как нетрудно убедиться, ни одна из отрывающихся капель не поднимается выше верхней точки обода. Докажите это самостоятельно.

С помощью соотношения (1) легко увидеть, что найденная точка наивысшего подъёма лежит точно над осью колеса: подставляя (3) в (1) и учитывая, что sin =gR/v^2 получаем x=0.

Ответ на поставленный в задаче вопрос - формула (5) для наибольшей высоты подъёма отрывающихся капель - -получен путём исследования на максимум квадратного трехчлена (4) относительно sin . Этот результат можно получить и иначе. Будем рассуждать следующим образом. Зафиксируем некоторое значение y_max и решим уравнение (4) относительно sin :

sin

_1,2

=

gR

v^2

±

gR

v^2

^2

+1-

2gy_max

v^2

1/2

.

(6)

Здесь углы и определяют те точки обода, отрываясь от которых капли достигают заданной максимальной высоты. Если вещественных корней нет, то заданного значения y_max не достигает ни одна капля. Если есть два различных вещественных корня и , то заданная высота является максимальной для двух капель. Это отчётливо видно из рис. 9.4 задачи 9 про «мокрое» колесо. Наибольшей высоты из всех капель, как видно из того же рисунка, достигает только одна капля. Следовательно, эту наибольшую высоту h_max можно найти, потребовав, чтобы оба корня уравнения (6) сливались в один: приравнивая дискриминант нулю, получаем ответ - формулу (5).

Итак, получено исчерпывающее решение этой задачи. Как и предыдущие задачи, мы решили её, используя уравнения движения (1) и (2), которые дают зависимость координат движущегося тела от времени. Эти уравнения содержат всю информацию о движении тела. Но во многих случаях полная информация бывает не нужна. Например, в обсуждаемой задаче нас совершенно не интересуют временные зависимости - требуется найти лишь положение точки наивысшего подъёма капли, а момент времени, когда капля там оказывается, интереса не представляет. В подобных случаях часто оказывается удобным с самого начала исключить избыточную информацию, воспользовавшись законами сохранения. В рассматриваемой задаче можно сразу получить соотношение (4) для наибольшей высоты подъёма капель, если применить закон сохранения механической энергии. Полагая потенциальную энергию капли на уровне оси колеса равной нулю, для полной энергии капли в точке отрыва имеем

E

=

mg

R sin

+

mv^2

2

.

В высшей точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль. Поскольку горизонтальная составляющая скорости не меняется, энергия в высшей точке

E

=

mg

y

_max

+

m(v sin )^2

2

.

Приравнивая E и E, получаем формулу (4). Как видите, во многих задачах не вредно подумать о том, нельзя ли упростить решение, используя законы сохранения!

9. Капли с вращающегося колеса.

«Мокрое» колесо равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси. С обода срываются капли. Найти границу «сухой» области.

Рис. 9.1. В отсутствие тяжести капли движутся прямолинейно

Движение оторвавшихся капель происходит под действием силы тяжести, которая всем каплям сообщает одинаковое ускорение g. Это позволяет сначала отвлечься от наличия тяготения. Рассмотрим движение капель, оторвавшихся от обода колеса в один и тот же момент. В отсутствие ускорения свободного падения капли движутся по прямым линиям. В любой момент времени t все капли лежат на окружности радиуса r (рис. 9.1), для которого с помощью теоремы Пифагора можно написать

r^2(t)

=

R^2

+

(vt)^2

,

(1)

где R - радиус колеса, v - скорость точек обода.

Радиус окружности r увеличивается с течением времени, а при наличии тяготения вся эта окружность ещё и «падает» с ускорением свободного падения g. Если начало координат выбрано в центре колеса, то в любой момент времени t ордината центра окружности равна -gt^2/2. Уравнение «падающей» окружности в этой системе координат имеет вид

x^2

+

y

+

gt^2

2

^2

=

r^2(t)

.

(2)

Рис. 9.2. Граница «мокрой» области как огибающая окружностей

Уравнение (2) есть уравнение целого семейства окружностей: придавая r разные значения, получаем окружности, на которых находятся капли в различные моменты времени. Легко сообразить, что искомая граница есть огибающая этого семейства окружностей (рис. 9.2). Ясно, что высшая точка этой границы лежит точно над осью колеса. Другими словами, уравнение (2) определяет всю «мокрую» область (рис. 9.3), и для решения задачи нам нужно найти границу заштрихованной области.

Рис. 9.3. «Мокрая» область заштрихована

Будем искать эту границу следующим образом. Заметим, что капли, оторвавшиеся от колеса в один и тот же момент времени, достигают границы в разные моменты времени: граница касается разных окружностей. Проведя горизонтальную прямую на некотором уровне Y, найдём на ней наиболее удалённую от оси y «мокрую» точку, не задумываясь о том, какой окружности она принадлежит. Абсциссу X точки пересечения любой окружности с этой прямой можно найти, подставив в уравнение окружности (2) ординату y=Y и радиус r из уравнения (1):

X^2

=

R^2

+

v^2t^2

-

Y

+

gt^2

2

^2

.

(3)

Легко видеть, что правая часть (3) есть квадратный трехчлен относительно t^2:

X^2

=-

g^2t

4

+

(v^2-gY)r^2

+

R^2

-

Y^2

.

Его максимальное значение

X^2

=

R^2

+

v

g^2

-

2v^2

g

Y

.

(4)

Разрешая (4) относительно Y, получаем уравнение границы «сухой» области:

Y

=-

g

2v^2

X^2

+

gR^2

2v^2

+

v^2

2g

.

(5)

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится на оси y на высоте

gR^2

2v^2

+

v^2

2g

.

Рис. 9.4. Граница «мокрой» области как огибающая парабол - траекторий капель

Граница была найдена как огибающая семейства окружностей, на которых находились капли, оторвавшиеся в один и тот же момент времени. Между тем траектория каждой отдельной капли представляет собой параболу, и поэтому найденная граница (5) является огибающей этих парабол (рис. 9.4).

Интересно отметить, что задачи 7 и 8 являются частными случаями этой задачи. Действительно, в задаче 8 фактически требовалось найти лишь верхнюю точку границы «мокрой» области: при X=0

Y

=

h

_max

=

gR^2

2v^2

+

v^2

2g

.

Задача 7 получается из этой задачи, если устремить к нулю радиус колеса R при неизменной скорости v. Уравнение границы достижимых целей получается из (5), если в последнем положить R=0:

Y

=-

g

2v^2

X^2

+

v^2

2g

.

 

Рис. 9.5. Граница «мокрой» области при медленном вращении колеса

При решении этой задачи мы молчаливо предполагали, что искомая граница проходит вне колеса. Как и в предыдущей задаче, легко убедиться, что это справедливо при условии v^2gR. В противном случае (v^2=gR) граница «мокрой» области в своей верхней части проходит по ободу колеса (дуга окружности), а затем плавно переходит в ветви параболы (рис. 9.5).