Флатландия. Сферландия

— Нам понятно, о чем вы говорите, — заверил я Сферу. — Обитателю Лайнландии неизвестно, имеет его мир форму прямой или кривой, потому что лайнландец лишен способности воспринимать направление, в котором искривлен его мир. Поэтому вполне может быть, что одномерная Лайнландия в действительности имеет форму окружности и, следовательно, обладает не бесконечной, а лишь конечной протяженностью, хотя и безгранична, то есть не имеет границ, или конечных точек.

— Совершенно верно, — обрадовалась Сфера. — Пользуясь случаем, замечу, что и ваш мир устроен аналогично: он не плоский, а искривленный. Вы живете не на бесконечно протяженной плоскости, а на поверхности большой сферы.

— Не могли бы вы рассказать об этом подробнее? — попросил доктор Пункто.

— Охотно, — согласилась Сфера и продолжала: — Вы знаете и понимаете, что окружность ограничивает некую часть двумерного пространства, а сама является одномерной кривой. Аналогично в Трехмерии сфера, трехмерное тело, ограничена двумерной поверхностью, которая так и называется — поверхность сферы.

— Аналогию можно продолжить, — добавил я. — Гиперсфера, четырехмерное тело, ограничена трехмерной гиперповерхностью.

— Вы, безусловно, правы, — согласилась Сфера, — хотя я не могу представить себе это наглядно так же, как вы — поверхность сферы.

— Итак, — вступил в беседу доктор Пункто, — если я правильно понял, наше пространство искривлено, всюду искривлено, хотя мы этого не замечаем?

— Совершенно верно, — подтвердила Сфера, — так же как искривлена всюду окружность, хотя обитающие на ней лайнландцы не ощущают искривленности своего пространства.

— Но мы же заметили кривизну своего пространства, — отважился заметить я.

— И да, и нет, — ответила Сфера, — Искривленности своего пространства вы бы никогда не заметили, да и не могли заметить. Вы обратили внимание лишь на одно из следствий, к которому приводит кривизна, но и то случайно. Поскольку ваше двумерное пространство искривлено и, следовательно, не является плоским, то сумма углов треугольника не равна 180°. Вы обратили внимание на это обстоятельство и сделали из него вывод, который я считаю необычайно остроумным. Однако, поскольку кривизна пространства недоступна непосредственному наблюдению, ваш вывод оставался не более чем смелой гипотезой. Обычный флатландец, даже если он сведущ в науках, не поймет и, следовательно, отвергнет ваш вывод. Боюсь, что если бы вы попробовали поделиться своими удивительными умозаключениями с соотечественниками, то встретили бы лишь язвительные насмешки. Ваши «сожители» по пространству усомнились бы в ваших умственных способностях. Может быть, некоторые из них и выразили бы желание выслушать вас, но стоило бы вам уйти, как за вашей спиной начались бы разговоры о старческой немощи или оскудении ваших умственных способностей.

— И все же я считаю необходимым выступить в защиту истины, — собравшись с духом, заявил я. — Не только потому, что каждый, кому случалось сделать открытие, испытывает непреодолимую потребность возвестить об этом миру. В данном случае такое выступление необходимо для того, чтобы смыть с доктора Пункто пятно незаслуженных обвинений. Сначала его подозревали в том, что он преднамеренно произвел ошибочные измерения. Все наши попытки опровергнуть это нелепое мнение привели лишь к тому, что доктора Пункто просто стали считать плохим землемером, который с помощью небылиц пытается оправдать себя. Не пощадила молва и меня. Считали, что, поддерживая дружеские отношения с «погибшим человеком», я рискую своей репутацией и делаю это лишь из рыцарских побуждений, поскольку никаких более основательных причин для столь странной дружбы не существует.

Чтобы сделать нашу гипотезу более понятной, — продолжал я, — мы воспользуемся аналогией с Циркульландией. На этой модели хорошо видна искривленность одномерного пространства, незаметная для его обитателей. Тому, кто живет в одномерном искривленном мире, невозможно понять, что его пространство искривлено в некоем недоступном его восприятию направлении. Наконец, мы сошлемся па «свидетельские показания» нашего гостя из Трехмерия, наблюдавшего искривленность Флатландии.

Тут я умолк, ибо почувствовал, что несколько увлекся. Никогда не смогу я рассказать где-нибудь, а тем более на общем собрании членов физико-математического факультета, о своих встречах со Сферой. Меня примут за сумасшедшего или подумают, будто я общаюсь с потусторонним миром, что почти равносильно сношениям с самим дьяволом!

^{Сумма углов любого треугольника на поверхности сферы всегда больше 180°. Каждый из углов при вершинах D и Е треугольника ADE равен 90°. Следовательно, сумма углов этого треугольника (180° + угол при вершине А) больше 180°. В треугольнике АБС все три угла равны 90°, поэтому их сумма равна 270°.}