Флатландия. Сферландия

То, что в одной геометрии считается прямой, отнюдь не является прямой в другой геометрии, но во всех трех геометриях прямая является кратчайшим расстоянием между двумя точками. Такие кратчайшие линии называются геодезическими. В этой связи уместно упомянуть о том, что вплоть до недавнего времени обычную прямую на плоскости мы могли проводить лишь с помощью линейки. Разумеется, при этом необходимо было еще предположение о том, что проведенная линия является прямой. Метод построения прямой был открыт лишь в 1864 году, когда француз Поселье предложил свой семизвенный шарнирный механизм для точного решения задачи о построении прямой. Инверсор Поселье (рис. 2) состоит из двух стержней равной длины, прикрепленных к неподвижной точке A. Другими концами стержни скреплены с двумя противоположными вершинами ромба, образованного четырьмя меньшими стержнями равной длины. Наконец, седьмой стержень соединяет вершину C ромба с неподвижной точкой B. Расстояние AB равно длине звена BC. Если точка C будет описывать дугу окружности с центром в точке B, то точка P, как легко доказать средствами элементарной геометрии, опишет прямую, перпендикулярную прямой AB.

Рис. 2.

Если пространство определить как «любой неограниченный континуум геометрических объектов», то две неевклидовы геометрии, логически ничем не уступающие евклидовой геометрии, следует считать не согласующимися с реальностью до тех пор, пока не будет открыто пространство, для которого они были бы верны. Однако было обнаружено, что риманова геометрия представляет собой не что иное, как геометрию на сферической поверхности (двумерном пространстве постоянной положительной кривизны), если дуги больших кругов считать геодезическими (кратчайшими линиями). В 1868 году итальянец Бельтрами открыл поверхность, на которой реализуется геометрия Лобачевского, — так называемую псевдосферическую поверхность бесконечной протяженности (двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны). В нашем пространстве можно связно представить лишь ограниченные полоски псевдосферы. Псевдосфера представляет собой седловидную поверхность (напоминающую внутреннюю поверхность тора), а выпуклости главных кривизн обращены в противоположные стороны, в силу чего ее кривизна отрицательна. Евклидова геометрия выполняется на плоскости (двумерном пространстве нулевой кривизны). Таким образом, нетрудно видеть, что все три геометрии реализуются в пространствах постоянной кривизны. На псевдосфере прямая имеет на бесконечности две различные точки, на плоскости одну, а на сфере не имеет ни одной.

Аксиома Евклида о том, что между двумя прямыми, или, если рассматривать более общий случай, двумя геодезическими, не заключено пространство, не выполняется в сферической геометрии. Пятый постулат Евклида, утверждающий, что две прямые (то есть две геодезические) пересекаются, если сумма внутренних углов треугольника меньше двух прямых углов, не выполняется в геометрии на псевдосфере. Можно показать, что пятый постулат Евклида не требует и не допускает доказательства, поскольку он по существу является определением того типа пространства, для которого его утверждение верно (то есть определением обычной евклидовой геометрии).

Риман также показал, что существует три логически возможных типа трехмерных пространств, свойства которых аналогичны свойствам перечисленных выше двумерных пространств. Эти пространства отличаются лишь так называемой мерой кривизны пространства (имеется в виду чисто аналитическое выражение, а не кривизна, доступная нашему непосредственному восприятию). Если кривизна пространства равна нулю, то мы имеем дело с евклидовым пространством. Если кривизна положительна, то пространство сферическое, а если кривизна отрицательна, то пространство псевдосферическое. В сферическом пространстве кратчайшие линии замыкаются, и макушка нашей собственной головы может служить великолепной моделью такого пространства. Сферическое пространство не имеет границы, но протяженность его конечна, а сумма углов треугольника превышает два прямых угла на величину, пропорциональную площади треугольника. В псевдосферическом пространстве кратчайшие линии уходят в бесконечность так же, как в евклидовом пространстве, но сумма углов треугольника меньше двух прямых на величину, пропорциональную площади треугольника. И в сферическом, и в псевдосферическом пространстве не существует подобных фигур неодинаковой величины, ибо в каждом случае треугольники различной величины должны иметь различные углы.

Ли доказал, что свободное движение может происходить лишь в трех названных нами пространствах. Существуют другие формы неевклидовых пространств, не допускающих свободное движение. Киллинг назвал их пространствами Клиффорда — Клейна.