Флатландия. Сферландия

Более двух тысяч лет Евклид считался неуязвимым. Его аксиомы принято было рассматривать как незыблемые законы реального пространства, а его теоремы — как безупречные логические следствия из этих аксиом. Оба мнения оказались ошибочными. Аксиомы Евклида в действительности представляют собой абстрагированные из свойств реального пространства допущения, и его теоремы следуют не только из принятых им аксиом[14]. В основе метода Евклида лежит проверка равенства, или конгруэнтности, прямых, углов, плоских фигур и т. д. путем наложения их, и, таким образом, приводимые Евклидом доказательства по существу основаны на интуиции. Аксиому «абсолютной подвижности» (то есть аксиому, предполагающую, что фигуры в пространстве можно свободно перемещать с одного места в другое, не меняя их размеров и формы), которая, например, не выполняется на яйцевидной поверхности, но играет существенную роль при любых геометрических измерениях, Евклид принимает молчаливо, не формулируя ее в явном виде. (Гильберт отверг доказательство путем наложения фигур, ибо само движение основано на некоторых геометрических соображениях и потому не может служить основанием геометрии.) Другое неявное допущение Евклида состоит в том, что прямую можно неограниченно продолжать. Истинность этого утверждения, справедливого в евклидовой геометрии, нарушается в некоторых неевклидовых геометриях (например, в римановой геометрии).

Евклид доказывает, что «если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны», но доказать вытекающие одно из другого обратное и противоположное утверждения («если внутренние накрест лежащие углы не равны, то прямые пересекаются», «если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны») он не смог бы. Чтобы иметь возможность продвигаться дальше, Евклид принял свой знаменитый пятый постулат, который понадобился ему для доказательства важной теоремы о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Математикам, жившим в более поздние эпохи, этот постулат о параллельных не казался ни самоочевидным, ни не зависимым от остальных аксиом. Его считали ошибочным. На протяжении веков неоднократно предпринимались бесплодные попытки доказать его. И все же Евклид оказался прав. Пятый постулат или какая-нибудь эквивалентная аксиома (например, утверждение о том, что две пересекающиеся прямые не могут быть одновременно параллельными одной и той же прямой) необходим для построения евклидовой геометрии.

Неевклидова геометрия появилась именно из попыток опровергнуть евклидову теорию параллельных. Если пятый постулат действительно содержится в других аксиомах Евклида, то его отрицание должно приводить к противоречию. Но лишь в тридцатых годах прошлого века русский математик Лобачевский и венгр Бойяи независимо друг от друга показали, что отрицание пятого постулата приводит к системе двумерной геометрии, столь же непротиворечивой, как геометрия Евклида. Новая геометрия основана на допущении о том, что через данную точку можно провести по крайней мере две разные прямые, не пересекающие данной прямой.

Предложенное Евклидом доказательство утверждения о том, что сумма углов треугольника не больше двух прямых углов, по-прежнему считалось верным до тех пор, пока в 1854 году немецкий математик Риман не показал, Что в нем непременно должна содержаться ошибка. Действительно, евклидово доказательство не содержало ни одной посылки, которая была бы неверна как в сферической, так и в плоской геометрии треугольников, и тем не менее заключение теоремы для сферических треугольников было неверным. Опираясь на этот факт, Риман показал далее, что можно построить еще одну непротиворечивую геометрию двух измерений, основанную на допущении о том, что через данную точку нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной прямой.

Рис. 1.

Итак, мы имеем три непротиворечивые геометрии двух измерений, как правило, однако, противоречащие друг другу.

Рассмотрим прямую PC (рис. 1), вращающуюся против часовой стрелки вокруг точки P. Логически возможны три различных случая. Когда вращающаяся прямая перестанет пересекаться с горизонтальной прямой справа, то она либо немедленно пересечет ее слева, либо в течение некоторого времени будет поворачиваться вокруг точки P и лишь затем пересечет горизонтальную прямую слева, либо, наконец, в течение некоторого времени будет пересекать горизонтальную прямую и справа, и слева. Первая возможность приводит к евклидовой геометрии, вторая — к геометрии Лобачевского и третья — к римановой геометрии.