Флатландия. Сферландия

Если все точки нашего пространства (3-пространства) соединить с некоторой воображаемой точкой вне его, то множество точек, лежащих на проведенных прямых, образует 4-пространство (гиперпространство). Точка, двигаясь, порождает линию. Линия, двигаясь в поперечном направлении, порождает поверхность. Поверхность, двигаясь в сторону от себя, порождает объемное тело. Тело, двигаясь из нашего пространства, порождает гипертело, или конечную часть гиперпространства. Допустимо рассуждать и несколько, иначе. Можно считать, что гиперпространство порождается всем нашим пространством, когда последнее Движется параллельно самому себе в некотором не содержащемся в нем направлении. Наше пространство в свою очередь можно считать порожденным аналогичным движением неограниченной плоскости, а плоскость — порожденной движением неограниченной прямой. Любое пространство можно рассматривать как границу между двумя частями пространства более высокой размерности. Любая неограниченная плоскость разделяет наше пространство на две равные бесконечные части. Точно так же каждое 3-пространство разделяет гиперпространство на две равные бесконечные области, а само 3-пространство образует границу между ними, обладающую бесконечно малой толщиной в четвертом измерении.

Две плоские фигуры (например, два треугольника), если они лежат в одной плоскости, могут частично перекрываться, но пересекаться они будут лишь в том случае, если лежат в различных плоскостях. Аналогично два объемных тела (например, два куба), если они лежат в одном и том же 3-пространстве, могут частично перекрываться, но пересекаться они будут лишь в том случае, если лежат в различных 3-пространствах. В гиперпространстве мы встречаемся со следующими возможными случаями пересечения. Гипертело и 3-пространство пересекаются, образуя трехмерное тело. Два 3-пространства пересекаются по некоторой плоскости, три 3-пространства пересекаются по прямой, четыре 3-пространства пересекаются в одной точке, 3-пространство и плоскость пересекаются по прямой, 3-пространство и прямая пересекаются в одной точке и две плоскости пересекаются в одной точке. Если пересечение находится в бесконечности, то говорят, что такие элементы параллельны. Если два 3-пространства параллельны, то все фигуры или тела в одном 3-пространстве расположены на равных расстояниях от другого 3-пространства. В случае плоскостей существуют два случая параллельности, и параллельные плоскости либо абсолютно, либо неабсолютно параллельны в зависимости от того, расположены, ли они в одном и том же или в различных 3-пространствах (или в зависимости от того, как они пересекаются в бесконечности: по прямой или лишь в точке).

На плоскости к данной прямой в данной точке можно восставить лишь один перпендикуляр. В 3-пространстве можно провести бесконечно много перпендикуляров, образующих плоскость, перпендикулярную данной прямой, а в гиперпространстве бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных данной прямой, образуют 3-пространство, перпендикулярное данной прямой. В четырехмерном пространстве 3-пространство может также быть перпендикулярным плоскости или другому 3-пространству. Говоря о перпендикулярных плоскостях в четырехмерном пространстве, следует различать два случая: неабсолютно перпендикулярные и абсолютно перпендикулярные плоскости. Отличаются они тем, что неабсолютно перпендикулярные плоскости лежат в одном и том же 3-пространстве, а абсолютно перпендикулярные плоскости не принадлежат одному 3-пространству. В последнем случае каждая прямая, лежащая в любой из двух плоскостей, перпендикулярна каждой прямой, лежащей в другой плоскости.

Положение точки на плоскости можно задать, указав, на каком расстоянии она находится от каждой из двух перпендикулярных прямых. Положение точки в нашем пространстве мы определим, если будет известно, на каком расстоянии она находится от каждой из трех взаимно перпендикулярных плоскостей, а положение точки в гиперпространстве будет определено, если мы зададим расстояния от этой точки до каждого из четырех взаимно перпендикулярных 3-пространств. В гиперпространстве эти расстояния мы будем измерять вдоль четырех взаимно перпендикулярных прямых, которые, если разбить их на пары, образуют шесть взаимно перпендикулярных плоскостей, а если выбрать из них всеми возможными способами тройки, определяют четыре взаимно перпендикулярных 3-пространства, о которых мы упомянули выше. В нашем пространстве плоскость определяется по крайней мере тремя точками. В гиперпространстве, для того чтобы определить 3-пространство, необходимы по крайней мере четыре точки. 3-пространство можно также определить при помощи двух непересекающихся прямых или при помощи плоскости и не принадлежащей ей точки.