Флатландия. Сферландия

Изучая четырехмерное пространство, мы непременно встретимся с еще одной фигурой, а именно с гиперсферой, геометрическим местом точек, равноудаленных от некоторой данной точки. Иногда гиперсферой называют гипертело, то есть конечную часть гиперпространства, заключенную внутри этого геометрического места, а само геометрическое место называют границей, или гиперповерхностью, гиперсферы. При таком понимании гиперсфера (то есть граница) трехмерна, и на ней реализуется трехмерная эллиптическая неевклидова геометрий. Впрочем, это не удивительно, поскольку обычную сферическую геометрию можно рассматривать как двумерную эллиптическую неевклидову геометрию.

Сформулируем некоторые правила, позволяющие вычислять размеры гипертел в геометрии четырех измерений. Известны правила, позволяющие вычислять объем границы гипертел или части этой границы, а также гиперобъем, то есть величину части 4-пространства, заключенной внутри границы. В большинстве случаев эти правила выводятся так же, как соответствующие правила для площади и объема в обычной геометрии, или могут быть получены методами математического анализа. Все приводимые ниже правила применимы к правильным фигурам, и большинство из них допускает обобщение на некоторые другие классы фигур, но мы не будем здесь останавливаться на этом.

Гиперпризма и гиперцилиндр.

Боковой объем = площадь поверхности основания, умноженная на высоту.

Гиперобъем = объем основания, умноженный на высоту.

Гиперпирамида и гиперконус.

Боковой объем = площадь поверхности основания, умноженная на ⅓ высоты.

Гиперобъем = объем основания, умноженный на ¼ высоты.

Двойная призма, призмоцилиндр и двойной цилиндр.

Объем одной части границы = площадь, заключенная внутри производящего многоугольника или кривой, умноженная на периметр направляющей.

Полный объем границы равен сумме двух таких произведений. Можно сказать, что полный объем равен сумме двух произведений, каждое из которых образовано при умножении площади, заключенной внутри производящего многоугольника или кривой, на периметр другого многоугольника или кривой.

Гиперобъем = произведение площадей, заключенных внутри производящих, многоугольников или кривых.

Для цилиндра двойного вращения с радиусами R и R' справедливы следующие формулы:

Объем = 2π²RR'(R + R').

Гиперобъем = πR²R'².

Гиперсфера.

Объем (границы) = 2π²R³.

Гиперобъем (заключенный внутри границы) = ⅓π²R⁴.

Если радиусы цилиндра двойного вращения равны радиусу гиперсферы, то его можно описать вокруг этой гиперсферы. При этом объем цилиндра двойного вращения будет равен удвоенному объему гиперсферы, а гиперобъем — удвоенному объему гиперсферы.

Грэхэм Д. Фитч Популярное объяснение четвертого измерения

Представить себе наглядно четвертое измерение невозможно. Тем не менее четвертое измерение — не абсурд, а полезное математическое понятие, лежащее в основе развитой непротиворечивой геометрии. Чтобы получить хотя бы частичное представление о том, что такое четвертое измерение, и хотя бы в общих чертах представить себе его, необходимо воспользоваться аналогией с пространством меньшего числа измерений.

Мы говорим, что множество одно-, двух- или трехмерно в зависимости от того, сколько чисел (одно, два или три) необходимо задать для того, чтобы полностью определить любой из элементов этого множества. Если пространство рассматривать как множество точек, то прямую можно назвать одномерным пространством, потому что положение точки на прямой полностью определяется заданием одного числа: расстояния от некоторой! фиксированной до рассматриваемой точки. Аналогично; плоскость является двумерным пространством, а множество точек, образующих пространство, в котором мы живем, трехмерно. Действительно, точное положение любой точки на Земле известно, коль скоро заданы ее широта, долгота и высота над уровнем моря. Если мы) обратимся к четырем переменным, каждая из которых может принимать независимо от других численные значения, то получим четырехмерное множество. Такое множество, если оно состоит из точек, образует четырехмерное пространство.