Флатландия. Сферландия

Так же как части нашего пространства ограничены поверхностями, плоскими или искривленными, части гиперпространства ограничены гиперповерхностями (трехмерными), то есть плоскими или искривленными 3-пространствами. Гиперпространство содержит не только бесконечно много плоских 3-пространств, аналогичных нашему пространству, но также бесконечно много искривленных 3-пространств, или гиперповерхностей различных типов. Например, гиперсфера представляет собой замкнутую гиперповерхность, все точки которой находятся на равном расстоянии от ее центра. Пять точек, не лежащих в одном и том же 3-пространстве, полностью определяют гиперсферу, подобно тому как четыре точки, не лежащие в одной и той же плоскости, полностью определяют сферу, а три точки, не лежащие на одной и той же прямой, определяют окружность. Все плоские сечения гиперсферы имеют форму окружностей, а все ее сечения 3-пространствами — форму сфер. Гиперсфера радиуса R, проходящая через наше пространство, казалась бы нам сферой, радиус которой постепенно увеличивается от 0 до R, а затем убывает от R до 0.

Рис. 1.

В то время как в нашем трехмерном пространстве существует лишь пять правильных многогранников (тел, ограниченных равными правильными многоугольниками), а именно: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, в гиперпространстве существует шесть правильных гипертел, ограниченных равными правильными многогранниками. Перечислим их: C₅ (гипертело, ограниченное 5 тетраэдрами), C₈ (гипертело, ограниченное 8 кубами), C₁₆ (гипертело, ограниченное 16 тетраэдрами), C₂₄ (гипертело, ограниченное 24 октаэдрами), C₁₂₀ (гипертело, ограниченное 120 додекаэдрами), и C₆₀₀ (гипертело, ограниченное 600 тетраэдрами). Математики подробно изучили все правильные гипертела и построили модели их проекций в наше пространство. Из всех правильных гипертел простейшим является C₈ (или гиперкуб), потому что все его грани взаимно перпендикулярны, хотя их и больше, чем у C₅. Гиперкуб служит стандартной единицей при измерении гиперобъема в 4-пространстве. Для получения гиперкуба достаточно переместить куб в направлении, перпендикулярном нашему пространству, на расстояние, равное длине ребра куба. На рис. 1 пунктиром показаны прямые, лежащие в гиперпространстве. ABCDEFGH означает символически начальное положение куба, а A'B'C'D'E'F'G'H' — его конечное положение. Направление AA' по предположению перпендикулярно нашему пространству. Проектируя ребра гиперкуба на наше пространство (имеется в виду, что мы не опускаем перпендикуляры из вершин гиперкуба на наше пространство, а проводим прямые из некоторой близко лежащей точки, проходящей через вершины гиперкуба), мы получаем проволочную модель, изображенную на рис. 2. Восемь граничных кубов представлены на этой модели в следующих проекциях: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12), (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16), (13, 14, 15, 16, 1, 2, 3, 4), (1, 5, 9, 13, 2, 6, 10, 14), (2, 6, 10, 14, 3, 7, 11, 15), (3, 7, 11, 15, 4, 8, 12, 16), (4, 8, 12, 16, 5, 9, 13, 1). Форма гиперкуба обусловлена взаимным расположением восьми перечисленных кубов. Сам же гиперкуб содержит бесконечно много кубов так же, как трехмерный куб содержит бесконечно много квадратов. При движении куба, порождающем гиперкуб, вершины исходного куба порождают ребра, ребра исходного куба — грани (квадраты), а грани исходного куба — кубы, ограничивающие гиперкуб. Это позволяет подсчитать число элементов гиперкуба.

Рис. 2.

Каждая вершина гиперкуба принадлежит одновременно четырем взаимно перпендикулярным ребрам, шести граням и четырем кубам, каждое ребро — трем граням и трем кубам, а каждая грань — двум кубам. Таким образом, каждый куб имеет по одной грани, общей с шестью из семи других кубов. Следовательно, гиперкуб можно рассматривать как тело, состоящее из кубов, которые возникли при движении граней исходного куба, а те из кубов, которые лежат в нашем пространстве, параллельны породившим их граням.

	Число вершин	Число ребер	Число граней (квадратов)	Число кубов
В начальном положении куба	8	—	8	16
Возникли при движении	12	8	12	32
В конечном положении куба	6	12	6	24
В гиперкубе	1	6	1	8

Вращение на плоскости может происходить лишь вокруг точки, в 3-пространстве возможно вращение вокруг прямой, а в гиперпространстве — вокруг осевой плоскости. Две симметричные плоские фигуры, например треугольники A и B (рис. 3), нельзя совместить никаким движением в плоскости, но, повернув один из них на 180° в третьем измерении, мы без труда совместим их.

Рис. 3.